Szerkesztés
Háromszög tengelyes tükrözése körzővel
Szögvonalzó nélkül is pontosan megy a tükrözés: minden csúcshoz két körív kell, és a körző maga garantálja, hogy a képpont ugyanolyan messze legyen a tengelytől.
Röviden a válasz
Egy csúcs tükrözése körzővel két lépés: szúrj a csúcsba, és olyan sugárral rajzolj körívet, amely a tengelyt két pontban (P és Q) metszi. Ezután szúrj P-be PA sugárral, Q-ba QA sugárral: a két körív másik metszéspontja az A′ képpont.
Ismételd meg mindhárom csúcsra, majd kösd össze a képpontokat. Vonalzót csak az oldalak behúzásához használsz, mérni nem kell vele.
Miért működik ez a körzős szerkesztés?
A tengely definíció szerint a csúcs és a képe közötti szakasz felező merőlegese. A felező merőlegesnek pedig van egy nagyon hasznos tulajdonsága: pontosan azok a pontok vannak rajta, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távol vannak.
Ha tehát a tengely két pontjából (P és Q) ugyanakkora távolságot mérsz az A csúcsra, mint amekkorát a keresett A′ pontra, akkor a PQ egyenes automatikusan felező merőleges lesz. Ezért elég a PA és a QA távolságot körzővel átvinni a tengely másik oldalára.
A szerkesztés menete lépésről lépésre
Egy csúcs tükrözése két körívvel
- Metszd el a tengelytSzúrj a körzővel az A csúcsba, és akkora nyílással rajzolj körívet, hogy az a t tengelyt két pontban metssze. Nevezd el őket P-nek és Q-nak.
- Első körív a másik oldalonHagyd a körzőnyílást változatlanul – ez épp a PA távolság –, szúrj P-be, és rajzolj körívet a tengely túloldalán.
- Második körívUgyanezzel a nyílással (QA = PA) szúrj Q-ba, és rajzolj körívet ugyanoda. A két körív metszéspontja az A′ képpont.
- A többi csúcsIsmételd meg pontosan ugyanezt a B és a C csúccsal. Mindegyikhez saját P és Q pont tartozik – ezek nem közösek.
- Kösd össze vonalzóval az A′, B′, C′ pontokat: kész a tükörkép.
Kidolgozott példa: mit várj a méréstől?
A tükrözés eredményét méréssel ellenőrizheted, mert két dolognak biztosan teljesülnie kell: minden csúcs és a képe ugyanolyan messze van a tengelytől, és az oldalak hossza változatlan.
Kidolgozott példa · A csúcsok 2 cm, 5 cm és 3 cm távolságra vannak a tengelytől
Tükrözzük a háromszöget a t tengelyre. Mit kell kapnunk méréskor?
- Az A csúcs 2 cm-re van a tengelytől, ezért a képe is 2 cm-re kerül a másik oldalon. A két pont távolsága:AA' = 2 · 2 = 4 cm
- A B csúcs 5 cm-re van, tehát:BB' = 2 · 5 = 10 cm
- A C csúcs 3 cm-re van, tehát:CC' = 2 · 3 = 6 cm
- Az összekötő szakaszok mindegyike merőleges a tengelyre, és a tengely felezi őket:AA' ⊥ t, BB' ⊥ t, CC' ⊥ t
- Az oldalak hossza nem változik, ezért az eredeti és a kép egybevágó:AB = A'B', BC = B'C', CA = C'A'
EredményA képpontok 4, 10 és 6 cm-re kerülnek az eredeti csúcsoktól, és a két háromszög minden oldala és szöge megegyezik.
Különleges esetek
- A csúcs a tengelyen van: ez fixpont, a helyén marad, nem kell szerkeszteni. Ilyenkor a két háromszögnek közös csúcsa lesz.
- A tengely metszi a háromszöget: a kép átfedi az eredetit, de a szerkesztés menete nem változik – a metszett oldalak képe egyszerűen átnyúlik a másik oldalra.
- A tengely a háromszög szimmetriatengelye: a kép pontosan az eredetire esik. Ez csak egyenlő szárú háromszögnél fordul elő, ahol a tengely az alap felező merőlegese.
- Egy oldal párhuzamos a tengellyel: a képe is párhuzamos lesz vele, és ugyanolyan távolságra kerül a tengely másik oldalán.
Körzővel vagy szögvonalzóval?
A szögvonalzós módszer gyorsabb: merőlegest állítasz a tengelyre a csúcson át, megméred a távolságot, és felméred a másik oldalra. Dolgozatban viszont a körzős szerkesztés az elfogadott, mert az minden lépését igazolja, és a segédkörívek a papíron maradva mutatják a gondolatmenetet.
| Szempont | Körzős szerkesztés | Szögvonalzós mérés |
|---|---|---|
| Eszköz | körző és vonalzó | szögvonalzó és vonalzó |
| Pontosság | a körzőnyílás pontosságától függ | a leolvasás pontosságától függ |
| Nyoma marad-e | igen, a körívek igazolják a szerkesztést | nem, csak a végeredmény látszik |
| Dolgozatban | ezt kérik | általában nem fogadják el szerkesztésként |
Gyors önellenőrzés
Egy csúcs 3,5 cm-re van a tengelytől. Milyen hosszú lesz a csúcsot és a képét összekötő szakasz?
Miért kell két körív a képpont megtalálásához?
Mit csinálsz, ha a háromszög egyik csúcsa rajta van a tengelyen?
Gyakori kérdések
Hogyan tükrözök háromszöget körzővel?
Minden csúcsból rajzolj olyan körívet, amely a tengelyt két pontban metszi, majd erről a két pontról vidd át ugyanazokat a távolságokat a tengely másik oldalára. A két körív metszéspontja a képpont.
Kell szögmérő a tengelyes tükrözéshez?
Nem. A merőlegesség a körívekből automatikusan adódik, mert a tengely a csúcsot és a képét összekötő szakasz felező merőlegese lesz.
Miért ugyanazzal a körzőnyílással kell mindkét körívet rajzolni?
Mert a P és a Q pontot az A középpontú körívvel jelölted ki, így PA = QA: mindkét távolság pontosan az eredeti körzőnyílás. Ha közben átállítod a nyílást, a képpont elcsúszik, és a háromszög torzul.
Hogyan ellenőrzöm, hogy jól tükröztem?
Kösd össze a csúcsot a képével: a szakasznak merőlegesen és a felezőpontjában kell metszenie a tengelyt. Ezenkívül a képháromszög oldalainak milliméterre egyezniük kell az eredetiekkel.
Ki kell törölni a köríveket a végén?
Nem, sőt: a segédkörívek bizonyítják, hogy szerkesztéssel dolgoztál. A kész háromszöget húzd ki vastagabban, a segédvonalak maradjanak vékonyan.