Háromszögfajták
Tengelyesen szimmetrikus háromszög
A szimmetriatengely nem díszítés, hanem számolási eszköz: kettévágja a háromszöget két egybevágó derékszögű háromszögre, és ezzel a terület egyetlen Pitagorasz-tételre egyszerűsödik.
Röviden a válasz
Egy háromszög akkor tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan egyenes, amelyre tükrözve önmagába megy át. Ez pontosan az egyenlő szárú háromszögekre igaz: nekik egy tengelyük van, a szabályos (egyenlő oldalú) háromszögnek pedig három.
A tengely az alap felezőmerőlegese, ami egyben az alaphoz tartozó magasság, súlyvonal és a szárszög szögfelezője is. Ezért a terület mindig T = a · m2, ahol m a szárból és a fél alapból Pitagorasz-tétellel számolható.
Tengelyesen szimmetrikus háromszög kalkulátor
Add meg az alapot és a szárat – a tengely mentén számolt magasság, a terület és a szögek azonnal megjelennek.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik háromszög tengelyesen szimmetrikus?
A tengelyes tükrözés akkor viszi önmagába a háromszöget, ha a tengely két csúcsot cserél fel, a harmadikat pedig helyben hagyja. A felcserélt két csúcsból induló oldalaknak ilyenkor egyenlő hosszúaknak kell lenniük – vagyis a háromszög egyenlő szárú.
| Háromszög | Tengelyek száma | Hol van a tengely? |
|---|---|---|
| Általános (mindhárom oldal más) | 0 | nincs ilyen egyenes |
| Egyenlő szárú | 1 | az alap felezőmerőlegese |
| Egyenlő oldalú (szabályos) | 3 | mindhárom oldal felezőmerőlegese |
Nincs olyan háromszög, amelynek pontosan kettő szimmetriatengelye lenne. Ha ugyanis két tengelye van, akkor már két oldalpár egyenlő, amiből mindhárom oldal egyenlősége következik – és így rögtön három tengelye lesz.
Négy vonal egyetlen egyenesben
Az egyenlő szárú háromszög tengelye egyszerre négy nevezetes vonal: az alap felezőmerőlegese, az alaphoz tartozó magasság, az alaphoz tartozó súlyvonal és a szárszög szögfelezője. Más háromszögekben ez a négy vonal négy különböző egyenes.
- A tengely felezi az alapot, ezért a fél alappal számolhatsz.
- A tengely merőleges az alapra, ezért derékszögű részháromszögek keletkeznek.
- A tengely felezi a szárszöget, ezért a szögszámítás is kettéosztható.
- A két alapon fekvő szög egyenlő, mert egymás tükörképei.
Terület a szimmetria segítségével
A tengely két egybevágó derékszögű háromszögre vágja az alakzatot. Az egyik befogó a fél alap, a másik a magasság, az átfogó pedig a szár. Ebből a magasság egyetlen Pitagorasz-tétellel megvan, a terület pedig utána már csak egy szorzás.
Kidolgozott példa · Alap 14 cm, szárak 25 cm
Mekkora a szimmetriatengely hossza és a háromszög területe?
- A tengely felezi az alapot, így a fél alap:142 = 7 cm
- A magasság a derékszögű félháromszögből:m = √252 − 72 = √625 − 49 = √576
- Vagyis:m = 24 cm
- A terület:T = 14 · 242 = 168 cm2
Eredménym = 24 cm, T = 168 cm²
Szögek a tengely mentén
Az alapon fekvő két szög mindig egyenlő, a szárszöget pedig a tengely felezi. A példánk háromszögében az alapon fekvő szög 73,74°, a szárszög 32,52° – ellenőrzésül 2 · 73,74° + 32,52° = 180°. A szögek részletes számolása: egyenlő szárú háromszög.
És a középpontos szimmetria?
Középpontosan szimmetrikus háromszög nem létezik. A középpontos tükrözés ugyanis megfordítja a körüljárási irányt, és minden szakaszt az ellentétes irányba visz – a háromszög képe így mindig „fejjel lefelé" áll az eredetihez képest, és nem fedheti azt. Erről bővebben: középpontosan szimmetrikus háromszög.
Gyors önellenőrzés
Tengelyesen szimmetrikus-e a 6, 8, 10 cm oldalú háromszög?
Hány szimmetriatengelye van az egyenlő szárú derékszögű háromszögnek?
Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szára 13 cm. Hol metszi a tengely az alapot?
Gyakori kérdések
Melyik háromszög tengelyesen szimmetrikus?
Pontosan az egyenlő szárú háromszög. Ha csak két oldala egyenlő, egy szimmetriatengelye van; ha mindhárom, akkor három. Az általános háromszögnek egy sincs.
Hol van a tengelyesen szimmetrikus háromszög szimmetriatengelye?
Az alap felezőmerőlegesén, vagyis azon az egyenesen, amely a szárszög csúcsából indul és merőlegesen felezi az alapot. Ez egyszerre magasság, súlyvonal, szögfelező és oldalfelező merőleges.
Hogyan számolom ki a tengelyesen szimmetrikus háromszög területét?
A tengely a magasság, ezért T = a · m2, ahol m = √b2 − (a2)2. Például 14 cm-es alappal és 25 cm-es szárral a magasság 24 cm, a terület 168 cm².
Hány szimmetriatengelye van a szabályos háromszögnek?
Három: mindhárom oldal felezőmerőlegese egyben szimmetriatengely is. Ezek egy pontban, a háromszög középpontjában metszik egymást.
Lehet egy háromszögnek pontosan két szimmetriatengelye?
Nem. Két tengelyből már következik, hogy mindhárom oldal egyenlő, tehát a háromszög szabályos – és akkor rögtön három tengelye van.