Tükrös háromszög szerkesztése – szimmetriatengellyel

Egyenlő szárú háromszög kalkulátor

Két adat elég: alapból és szárból megkapod a szimmetriatengely hosszát (az alaphoz tartozó magasságot) és a szögeket is – ezekkel ellenőrizd a szerkesztésedet.

azonnal számol

Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
Felszín: –
β szög: –
m_a magasság: –
Terület: –
Kerület: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mitől „tükrös" egy háromszög?

Egy alakzat akkor tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan egyenes, amelyre tükrözve önmagába megy át. Háromszögnél ez csak úgy lehetséges, ha a tengely az egyik csúcson átmegy, és a másik két csúcsot egymásba viszi. Ekkor viszont ez a két csúcs egyenlő távol van a tengelytől, tehát a két oldal – a két szár – egyenlő hosszú.

Általános háromszögnek nincs szimmetriatengelye.
Egyenlő szárú háromszögnek pontosan egy van: az alap felező merőlegese.
Szabályos háromszögnek három: mindhárom oldal felező merőlegese.

A 12 cm alapú, 10 cm szárú háromszög szimmetriatengelye az alaphoz tartozó 8 cm-es magasság.

Szerkesztés alapból és szárból

A menet

Mérd fel az alapot egy egyenesre: ez lesz az AB szakasz.
Felező merőlegesAz alap felénél nagyobb, tetszőleges körzőnyílással szúrj A-ba, majd B-be, és rajzolj köríveket mindkét oldalon. A két metszéspontot összekötő egyenes a felező merőleges – ez lesz a szimmetriatengely.
A harmadik csúcsKörzőnyílás a szár hosszára állítva, szúrj A-ba (vagy B-be), és metszd el a tengelyt. A metszéspont a C csúcs.
Kösd össze C-t az A és a B ponttal. A két szár a szerkesztés miatt biztosan egyenlő.

Kidolgozott példa · Alap 12 cm, szár 10 cm

Szerkeszd meg a háromszöget, és számold ki a tengely (a magasság) hosszát!

Ellenőrizd, hogy megszerkeszthető-e: a két szár összege legyen nagyobb az alapnál.10 + 10 = 20 > 12
A tengely felezi az alapot, így a fél alap:122 = 6 cm
A szár, a fél alap és a magasság derékszögű háromszöget alkot, ezért Pitagorasz-tétellel:m = √10² − 6² = √100 − 36
Vagyis a tengely hossza:m = √64 = 8 cm
Az alapon fekvő szög a derékszögű részháromszögből:cos β = 610 = 0,6 → β = 53,13°
A szárszög a maradék:α = 180° − 2 · 53,13° = 73,74°

EredményA tengely (magasság) 8 cm, az alapon fekvő szögek 53,13°-osak, a szárszög 73,74°, a terület 12 · 82 = 48 cm².

Szerkesztés alapból és magasságból

Ha nem a szár, hanem a magasság adott, még egyszerűbb: a tengelyen egyszerűen felméred a magasságot az alap felezőpontjától. Ugyanaz a háromszög jön ki, ha az adatok összetartoznak – a 12 cm-es alaphoz tartozó 8 cm-es magasság ugyanazt a 10 cm-es szárat adja.

Kidolgozott példa · Alap 12 cm, magasság 8 cm

Szerkeszd meg a háromszöget, és számold ki a szárak hosszát!

Mérd fel az alapot, és szerkeszd meg a felező merőlegesét.AB = 12 cm
A felezőponttól mérd fel a tengelyre a magasságot: itt lesz a C csúcs.m = 8 cm
A szár a derékszögű részháromszög átfogója:b = √6² + 8² = √36 + 64
Vagyis:b = √100 = 10 cm

EredményMindkét szár 10 cm – ugyanaz a háromszög, mint az előző feladatban, csak más adatokból indultunk.

Mikor nem sikerül a szerkesztés?

Az egyenlő szárú háromszög akkor szerkeszthető meg, ha a két szár összege nagyobb az alapnál, vagyis 2b > a. Ha a szár épp az alap fele, a körív érinti a tengelyt: a három pont egy egyenesre esik, háromszög nem jön létre. Ha ennél is rövidebb, a körív el sem éri a tengelyt.

Alap 12 cm – milyen szárral kapunk háromszöget?
Szár	Mi történik	Megoldás
5 cm	5 + 5 = 10 < 12, a körívek nem érik el egymást	nincs
6 cm	6 + 6 = 12, a három pont egy egyenesre esik	nincs (elfajuló eset)
10 cm	10 + 10 = 20 > 12, a körív metszi a tengelyt	pontosan egy

Gyors önellenőrzés

Hány szimmetriatengelye van a szabályos háromszögnek?

Három: mindhárom oldal felező merőlegese, amelyek egyben a magasságvonalak és a szögfelezők is.

Az alap 18 cm, a szár 15 cm. Mekkora az alaphoz tartozó magasság?

A fél alap 9 cm, ezért m = √15² − 9² = √144 = 12 cm.

Miért nem lehet szimmetriatengelye egy általános háromszögnek?

Mert a tengely a két rá nem eső csúcsot egymásba vinné, így két oldalnak egyenlőnek kellene lennie. Ha minden oldal különböző hosszú, ez lehetetlen.

Gyakori kérdések

Mi az a tükrös háromszög?

A tengelyesen szimmetrikus háromszög, vagyis az egyenlő szárú háromszög. Van egy olyan egyenese, amelyre tükrözve önmagába megy át – ez az alap felező merőlegese.

Hogyan szerkesztek tükrös háromszöget?

Mérd fel az alapot, szerkeszd meg a felező merőlegesét, majd a szár hosszával (vagy a magassággal) jelöld ki a harmadik csúcsot ezen a tengelyen. Így a két szár a szerkesztés miatt biztosan egyenlő lesz.

A szabályos háromszög is tükrös?

Igen, sőt: három szimmetriatengelye van, mert bármelyik oldalát tekintheted alapnak. Az egyenlő szárú háromszögnek ezzel szemben csak egy tengelye van.

Mit jelent az, hogy a tengely négy vonal egyszerre?

Az egyenlő szárú háromszögben az alap felező merőlegese egybeesik az alaphoz tartozó magassággal, az alaphoz tartozó súlyvonallal és a szárszög szögfelezőjével – mind a négy ugyanaz az egyenes.

Bármilyen alapból és szárból megszerkeszthető?

Nem: a két szár összegének nagyobbnak kell lennie az alapnál. Ha a szár épp az alap fele vagy annál kisebb, nem jön létre háromszög.