Területszámítás
Háromszög terület számítás – hat feladattípus
Dolgozat előtt nem képletlistára van szükség, hanem arra, hogy ránézésre felismerd a feladat típusát. Ez az oldal hat típusra bontja a területszámítást, és mindegyikre ad egy mintát.
Röviden a válasz
A háromszög terület számítás mindig ugyanarra a képletre vezet vissza: T = a · ma2. A feladat típusát az dönti el, hogy a magasságot készen kapod-e, vagy előbb elő kell állítanod.
Hat típus fedi le a feladatok döntő többségét: alap és magasság, két befogó, három oldal, két oldal és szög, speciális háromszög, illetve a visszafelé számolás. Alább mindegyikre van egy kidolgozott minta.
Gyakorló kalkulátor
Számold ki kézzel, aztán írd be ide az adatokat, és nézd meg, egyezik-e. A magasságokat is kiírjuk, így a részeredményeidet is ellenőrizheted.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik típus melyik? – felismerési táblázat
| Típus | Amit a feladat megad | Amit használsz |
|---|---|---|
| 1. Alapeset | oldal és a hozzá tartozó magasság | T = a · ma2 |
| 2. Derékszögű | két befogó (vagy derékszögjel az ábrán) | T = a · b2 |
| 3. Három oldal | a, b, c, magasság sehol | Héron-képlet |
| 4. Szöges | két oldal és a köztük lévő szög | T = a · b · sin γ2 |
| 5. Speciális | „szabályos", „egyenlő szárú" | típusképlet, vagy előbb magasság |
| 6. Visszafelé | a terület adott, oldal vagy magasság a kérdés | a képlet átrendezése |
1. típus – alap és magasság
Kidolgozott példa · Alap: 22 cm, magasság: 5 cm
Mekkora a terület?
- Behelyettesítés:T = 22 · 52 = 1102
- Eredmény:T = 55 cm2
EredményT = 55 cm²
2. típus – derékszögű háromszög
Itt a két befogó merőleges egymásra, tehát az egyik a másik magassága. Az átfogót ne vedd bele.
Kidolgozott példa · Befogók: 18 cm és 24 cm
Terület, majd ellenőrzésképp az átfogó.
- Terület a két befogóból:T = 18 · 242 = 4322 = 216 cm2
- Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √324 + 576 = √900 = 30 cm
EredményT = 216 cm², az átfogó 30 cm
3. típus – csak a három oldal
Ha semmiféle magasság vagy szög nincs a szövegben, a Héron-képlet marad. Két lépés: félkerület, majd gyökvonás.
Kidolgozott példa · a = 25 cm, b = 17 cm, c = 12 cm
Mekkora a terület, és mekkora a legrövidebb oldalhoz tartozó magasság?
- Félkerület:s = 25 + 17 + 122 = 542 = 27 cm
- A tényezők:s − a = 2, s − b = 10, s − c = 15
- Héron-képlet:T = √27 · 2 · 10 · 15 = √8100
- Gyökvonás:T = 90 cm2
- A c oldalhoz tartozó magasság:mc = 2 · 9012 = 15 cm
EredményT = 90 cm², mc = 15 cm
4. típus – két oldal és a közbezárt szög
A szinuszos képlethez az kell, hogy a szög a két megadott oldal között legyen. Erről és a levezetéséről a háromszög területe sin-nel oldalon olvashatsz többet.
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 6 cm, γ = 70°
A γ szög a két megadott oldal közé esik.
- Képlet:T = a · b · sin γ2 = 13 · 6 · sin 70°2
- A szinusz értéke:sin 70° = 0,9397
- Számolás:T = 78 · 0,93972 = 73,302
- Eredmény:T = 36,65 cm2
EredményT = 36,65 cm²
5. típus – speciális háromszögek
| Háromszög | Amit tudsz | Képlet |
|---|---|---|
| Szabályos | az a oldal | T = a2 · √34 |
| Egyenlő szárú | alap (a) és szár (b) | előbb m = √b2 − (a2)2 |
| Egyenlő szárú derékszögű | a befogó | T = a22 |
| Derékszögű, átfogóval | átfogó és egy befogó | előbb b = √c2 − a2 |
Ezekre a típusokra mindig van rövidebb út, mint a Héron-képlet – érdemes felismerni őket, mert időt spórolsz és kevesebbet is hibázol.
6. típus – visszafelé
A feladat megadja a területet, és egy oldalt vagy magasságot kérdez. Ilyenkor csak rendezd át a képletet – ne kezdj el új képletet keresni.
Kidolgozott példa · A terület 45 cm², a magasság 6 cm
Mekkora az az oldal, amelyhez ez a magasság tartozik?
- Indulj a képletből:45 = a · 62 = 3a
- Oszd el hárommal:a = 453 = 15 cm
- Ellenőrzés:15 · 62 = 45 cm2
Eredménya = 15 cm
Önellenőrzés
Gyors önellenőrzés
1. típus: az alap 16 cm, a magasság 7 cm. Mekkora a terület?
2. típus: derékszögű háromszög befogói 11 és 4 cm. Terület?
3. típus: az oldalak 7, 8 és 9 cm. Melyik lépéssel kezded?
4. típus: két oldal 10 és 4 cm, a közbezárt szög 30°. Terület?
6. típus: a terület 84 cm², az egyik oldal 24 cm. Mekkora a hozzá tartozó magasság?
Gyakori kérdések
Hogyan kezdjek neki egy háromszög terület számítás feladatnak?
Nézd meg, van-e a szövegben magasság. Ha igen, T = a · ma2 egy lépésben megvan. Ha nincs, a megadott adatok döntik el: három oldalból Héron, két oldalból és a közbezárt szögből a szinuszos képlet.
Melyik a leggyakoribb feladattípus?
A derékszögű háromszög, mert ott a két befogó merőleges egymásra, tehát a terület a szorzatuk fele. A dolgozatok jelentős része erre az esetre épül, gyakran a Pitagorasz-tétellel kombinálva.
Van háromszög terület számítás kalkulátor ezen az oldalon?
Igen, az oldal tetején. Bármely három adatot elfogad, amiből legalább egy oldal – a terület mellett a kerületet és mindhárom magasságot is kiszámolja, így a részeredményeidet is ellenőrizheted vele.
Hogyan számolok visszafelé, ha a terület adott?
Szorozd meg a területet kettővel, és oszd el azzal az adattal, amit ismersz: ma = 2 · Ta, illetve a = 2 · Tma. Például 45 cm² és 6 cm magasság esetén az oldal 15 cm.
Mit tegyek, ha nem tudom, létezik-e a háromszög?
Ellenőrizd a háromszög-egyenlőtlenséget: a két rövidebb oldal összege legyen nagyobb a leghosszabbnál. Ha nem az, nincs ilyen háromszög, és a Héron-képlet gyökjele alatt negatív szám keletkezik.