Területszámítás
Területszámítás – háromszög
Ugyanaz a terület, három nehézségi szinten. Ez az oldal aszerint rendezi a képleteket, hogy melyik évfolyamon mit várnak el – és mindegyik szinthez ad egy végigszámolt feladatot.
Röviden a válasz
A háromszög területe T = a · ma2: egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele. Ez a képlet minden háromszögre igaz, hegyesszögűre, derékszögűre és tompaszögűre egyaránt.
Ha nincs magasságod, akkor a rendelkezésre álló adatoktól függ a képlet: három oldalból a Héron-képlet, két oldalból és a közbezárt szögből a T = a · b · sin γ2 alak számol területet.
Területszámító kalkulátor
Írd be a három oldalt, vagy két oldalt és egy szöget – a terület mellett a magasságokat és a kerületet is megkapod.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az alapképlet, amiből minden más következik
A területszámítás háromszögnél egyetlen összefüggésen áll: egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele. Az „oldal" itt bármelyik oldal lehet, csak a magasságnak pont arra az oldalra kell merőlegesnek lennie.
A kettes osztó onnan jön, hogy minden háromszög pontosan a fele egy olyan paralelogrammának, amelynek ugyanaz az alapja és ugyanaz a magassága. Vágd ki a háromszöget papírból, forgasd el a másolatát 180°-kal, illeszd hozzá – kijön a paralelogramma.
Melyik adatból melyik képlet?
A területszámítás nehézsége soha nem a képlet, hanem a döntés, hogy melyiket vedd elő. Ehhez elég megnézni, mit ad meg a feladat:
| Amit tudsz | Amit használsz | Mikor tanulják |
|---|---|---|
| Egy oldal és a hozzá tartozó magasság | T = a · ma2 | 7. osztály |
| A két befogó (derékszögű) | T = a · b2 | 7–8. osztály |
| Alap és szár (egyenlő szárú) | Előbb m = √b2 − (a2)2 | 8. osztály |
| Csak az oldal (szabályos) | T = a2 · √34 | 9. osztály |
| Mindhárom oldal | Héron: T = √s(s-a)(s-b)(s-c) | 9–10. osztály |
| Két oldal és a közbezárt szög | T = a · b · sin γ2 | 10–11. osztály |
| Egy oldal és két szög | Előbb szinusztétel, utána a szinuszos alak | 11–12. osztály |
A táblázat felső fele egyetlen szorzás és egy osztás, az alsó fele már számológépet kíván. Ha a képletek teljes listájára vagy kíváncsi, azt a háromszög területe képletek oldalon gyűjtöttük össze.
1. szint – alap és magasság
Ez a 7. osztályos alapeset. A feladat két számot ad, és az egyik biztosan magasság – ezt vagy kimondja a szöveg, vagy az ábrán derékszögjel mutatja.
Kidolgozott példa · Alap: 26 cm, magasság: 7 cm
Mekkora a háromszög területe?
- Írd fel a képletet:T = a · ma2
- Helyettesíts be:T = 26 · 72 = 1822
- Osztás kettővel:T = 91 cm2
EredményT = 91 cm²
2. szint – csak a három oldal ismert
Magasság nélkül is kiszámolható a terület, ha mindhárom oldal megvan. A Héron-képlet először a félkerületet kéri, utána egy gyökvonás következik.
Kidolgozott példa · a = 11 cm, b = 13 cm, c = 20 cm
Számold ki a területet, majd a leghosszabb oldalhoz tartozó magasságot!
- Félkerület:s = 11 + 13 + 202 = 442 = 22 cm
- A zárójeles tényezők:s − a = 11, s − b = 9, s − c = 2
- Behelyettesítés:T = √22 · 11 · 9 · 2 = √4356
- Gyökvonás:T = 66 cm2
- A c oldalhoz tartozó magasság innen egy osztás:mc = 2 · 6620 = 6,6 cm
EredményT = 66 cm², mc = 6,6 cm
3. szint – két oldal és a közbezárt szög
Középiskolában a leggyakoribb területképlet a szinuszos alak. Azért működik, mert a magasság maga is egy szinuszos szorzat: ha a b oldalt „ledöntöd" merőlegesen, éppen b · sin γ hosszú vetületet kapsz.
Kidolgozott példa · b = 16 cm, c = 9 cm, α = 65°
A két megadott oldal az α szöget fogja közre. Mekkora a terület?
- A közbezárt szöghöz tartozó alak:T = b · c · sin α2
- Behelyettesítés:T = 16 · 9 · sin 65°2
- A szinusz értéke:sin 65° = 0,9063
- Szorzás és osztás:T = 144 · 0,90632 = 65,25 cm2
EredményT = 65,25 cm²
A szinuszos képletről és a tompaszögű esetről külön oldalon írunk részletesen: háromszög területe sin-nel.
Mértékegységek – itt esik ki a legtöbb pont
A terület mindig négyzetes egységben áll: cm², m², km². Ha az adatok különböző egységben érkeznek, előbb váltsd át őket, csak utána szorozz.
- 1 m² = 10 000 cm² – nem 100 cm², mert mindkét irányban százszorozódik.
- 1 ár = 100 m², 1 hektár = 10 000 m².
- Ha az egyik adat cm-ben, a másik m-ben van, az eredmény semmilyen egységben nem lesz helyes.
A gyakorlati, négyzetméteres feladatokhoz (telek, fal, terasz) a háromszög négyzetméter számítás oldal ad kész recepteket.
Ellenőrzés: jó-e az eredmény?
Három gyors próba, ami dolgozat közben is belefér:
- A terület legyen kisebb, mint a befoglaló téglalap területe (az oldal és a magasság szorzata), pontosan a fele.
- Számold ki másik oldal–magasság párral is: ugyanannak kell kijönnie.
- Nézd meg a nagyságrendet: 10 cm körüli oldalakból nem jöhet ki 500 cm².
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög egyik oldala 18 cm, a hozzá tartozó magasság 5 cm. Mekkora a terület?
A terület 91 cm², az egyik oldal 14 cm. Mekkora az ehhez az oldalhoz tartozó magasság?
Két oldal 11 és 13 cm, a köztük lévő szög 90°. Mekkora a terület?
Miért nem lehet két háromszög területét összehasonlítani pusztán a kerületük alapján?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög területszámítás képlete?
T = a · ma2, vagyis egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele. Mindhárom oldal–magasság pár ugyanazt a területet adja, így egymással ellenőrizhetők.
Hogyan számolok területet, ha nincs megadva magasság?
Három oldalból a Héron-képlettel, két oldalból és a közbezárt szögből a T = a · b · sin γ2 alakkal. Speciális háromszögeknél (derékszögű, egyenlő szárú, szabályos) rövidebb út is van.
Ugyanaz a területszámítás derékszögű háromszögnél?
Igen, csak egyszerűbb: a két befogó merőleges egymásra, tehát egyikük a másik magassága. Így T = a · b2, külön magasságot nem kell keresni.
Milyen mértékegységben kell megadni a területet?
Mindig négyzetes egységben: ha az oldalak cm-ben vannak, az eredmény cm², ha méterben, akkor m². Az adatokat számolás előtt közös egységre kell hozni.
Melyik évfolyamon tanulják a háromszög területét?
Az alap–magasság képlet 7. osztályos anyag, a Héron-képlet 9–10. osztályban jön, a szinuszos területképlet pedig 10–11. osztályban, a szögfüggvények után.
Lehet a háromszög területe nagyobb, mint egy oldalának a hossza?
Számértékben igen, de a kettő nem összehasonlítható: a terület felület (cm²), az oldal hosszúság (cm). Egy 10 cm alapú, 20 cm magas háromszög területe 100 cm² – a szám nagyobb, a mennyiség viszont más fajta.