Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög köré írható kör sugarának kiszámítása
A kérdés sosem az, hogy „mi a képlet", hanem az, hogy mit tudsz a háromszögről. Három bemenő adatból három különböző út vezet ugyanahhoz az R-hez.
Röviden a válasz
Ha mindhárom oldalt ismered, a köré írható kör sugara R = a · b · c4 · T, ahol T a háromszög területe. Ha csak egy oldalt és a vele szemközti szöget tudod, akkor a szinusztételből R = a2 · sin α.
Derékszögű háromszögben nem kell számolni: a sugár az átfogó fele, R = c2. Szabályos háromszögben pedig R = a · √33.
Köré írható kör sugara – kalkulátor
Írd be a három oldalt (vagy két oldalt és a közbezárt szöget) – az R sugarat azonnal megkapod.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik képletet válaszd?
Egyetlen „köré írható kör" képlet nincs – pontosabban van, csak nem mindig az a legrövidebb út. Először nézd meg, milyen adatok szerepelnek a feladatban, és onnan indulj:
| Amit ismersz | Képlet | Mennyi munka |
|---|---|---|
| Mindhárom oldal | R = a · b · c4 · T | Előbb Héron-képlettel terület kell. |
| Egy oldal + a szemközti szög | R = a2 · sin α | Egyetlen osztás, ez a leggyorsabb. |
| Derékszögű háromszög átfogója | R = c2 | Nincs számolás. |
| Szabályos háromszög oldala | R = a · √33 | Egy szorzás. |
| Terület és két oldal | R = a · b · c4 · T | Ugyanaz, csak a T már megvan. |
1. Számítás három oldalból
Ez a leggyakoribb dolgozatfeladat, és ez a leghosszabb út is, mert előbb a területet kell megszerezni. A menete mindig ugyanaz: félkerület → Héron-képlet → behelyettesítés.
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
Mekkora a háromszög köré írható kör sugara?
- Félkerület:s = 13 + 14 + 152 = 21 cm
- Terület Héron-képlettel:T = √21 · (21-13) · (21-14) · (21-15) = √21 · 8 · 7 · 6
- A gyök alatt 7056 áll, ami pontos négyzetszám:T = 84 cm2
- Innen a sugár:R = 13 · 14 · 154 · 84 = 2730336
- Elosztva:R = 8,125 cm
EredményR = 8,125 cm
2. Számítás oldalból és szemközti szögből
Ha a feladat megad egy oldalt és a vele szemközti szöget, ne indulj el a Héron-képlet felé – egyetlen osztással kész vagy. Ez a szinusztétel átrendezett alakja:
Kidolgozott példa · a = 10 cm, α = 30°
Mekkora a köré írható kör sugara?
- A szemközti szög szinusza:sin 30° = 0,5
- Behelyettesítés:R = 102 · 0,5 = 101
- Vagyis:R = 10 cm
EredményR = 10 cm – a kör sugara történetesen épp az oldallal egyenlő, mert 2 sin 30° = 1.
Ez az eset a kerületi szögek tételét is megmutatja: ha egy 10 cm-es húrt egy 30°-os kerületi szög lát, akkor a hozzá tartozó középponti szög 60°, és az O középpont a húr két végpontjával szabályos háromszöget alkot. Innen is látszik, hogy R = 10 cm.
3. Derékszögű és szabályos háromszög
Két háromszögtípusnál egyáltalán nem kell képlettel bajlódni. Derékszögű háromszögben a Thalész-tétel miatt az átfogó a kör átmérője, tehát a középpont az átfogó felezőpontja.
Kidolgozott példa · Derékszögű háromszög: a = 8 cm, b = 15 cm
Mekkora a köré írható kör sugara?
- Előbb az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √82 + 152 = √64 + 225 = √289
- Vagyis:c = 17 cm
- A sugár az átfogó fele:R = 172 = 8,5 cm
EredményR = 8,5 cm
Ellenőrzésképp: az általános képlet ugyanezt adja. A terület T = 8 · 152 = 60 cm², így R = 8 · 15 · 174 · 60 = 2040240 = 8,5 cm. A rövidebb út csak gyorsabb, nem más. A részletekért nézd meg a derékszögű háromszög köré írható kör sugara oldalt.
Mennyi az annyi? – tipikus értékek
Érdemes érezni a nagyságrendeket. Ugyanaz a 12 cm-es kerület egészen más sugarat ad attól függően, mennyire „lapos" a háromszög:
| Háromszög | Terület | R sugár |
|---|---|---|
| Szabályos, a = 4 cm | 6,93 cm² | 2,31 cm |
| Derékszögű, 3–4–5 cm | 6 cm² | 2,50 cm |
| Lapos, 2–5–5 cm | 4,90 cm² | 2,55 cm |
| Elfajult, 1–5–6 cm | 1 + 5 = 6, nem háromszög | — |
Minél „laposabb" a háromszög, annál nagyobb a köré írható kör – egy majdnem elfajult háromszög köré óriási kör kell. Ez a 4T nevezőből is látszik: ha a terület nullához tart, R minden határon túl nő.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 6 és 8 cm. Mekkora a köré írható kör sugara?
Egy háromszög egyik oldala 12 cm, a vele szemközti szög 90°. Melyik képlet a leggyorsabb?
Miért nem lehet R kisebb, mint a leghosszabb oldal fele?
Ha nem a sugárra, hanem a kör helyére vagy kíváncsi, olvasd el a háromszög köré írható kör középpontja oldalt. Koordinátageometriai feladathoz a háromszög köré írható kör egyenlete ad receptet, a másik nevezetes körről pedig a háromszög beírt köre oldalon írunk.
Gyakori kérdések
Hogyan számítjuk ki a háromszög köré írható kör sugarát?
Ha három oldal ismert: R = a · b · c4 · T, ahol a területet Héron-képlettel kapod. Ha egy oldal és a vele szemközti szög ismert, akkor R = a2 · sin α. Derékszögűben pedig egyszerűen az átfogó fele.
Mi a háromszög köré írható kör sugarának képlete?
A legáltalánosabb alak R = a · b · c4 · T. Ez minden háromszögre működik, hegyesszögűre, derékszögűre és tompaszögűre egyaránt.
Van-e minden háromszögnek köré írható köre?
Igen, pontosan egy. Három nem egy egyenesre eső pontra mindig illeszthető kör, mert a három oldalfelező merőleges egyetlen pontban metszi egymást, és ez a pont mindhárom csúcstól ugyanolyan távol van.
Hogyan számolom ki a sugarat, ha csak a terület és az oldalak ismertek?
Akkor kihagyhatod a Héron-képletet, és rögtön behelyettesíthetsz: R = a · b · c4 · T. Csak arra ügyelj, hogy a terület és az oldalak ugyanabban a mértékegységrendszerben legyenek.
Mekkora a szabályos háromszög köré írható kör sugara?
Az oldal √3-ad része, vagyis R = a · √33 ≈ 0,577 · a. Ez pontosan a magasság kétharmada, mert szabályos háromszögben a középpont egybeesik a súlyponttal.
Miért nagyobb R annál, mint amennyire számítok?
Tompaszögű háromszögben a középpont a háromszögön kívülre esik, így a sugár feltűnően nagy lehet. A képlet ilyenkor is helyes – a 4T nevező kicsi, mert a háromszög lapos.