Pitagorasz-tétel megfordítása – derékszögű-e a háromszög?

Derékszögű-e? Írd be a három oldalt

A kalkulátor kiszámolja a szögeket. Ha a leghosszabb oldallal szemközti szög pontosan 90°, a háromszög derékszögű.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mit mond ki a megfordítás?

Az eredeti Pitagorasz-tétel feltétele a derékszög, következménye az a² + b² = c² egyenlőség. A megfordításban a kettő szerepet cserél: az egyenlőség a feltétel, és a derékszög a következmény.

A megfordítása² + b² = c² → γ = 90°Itt c a leghosszabb oldal, γ pedig a vele szemközti szög. A derékszög mindig a leghosszabb oldallal szemben keletkezik.

Három oldalból megmondani a háromszög fajtáját

A módszer mindig ugyanaz: keresd meg a leghosszabb oldalt, emeld négyzetre, és hasonlítsd a másik kettő négyzetösszegéhez.

Osztályozás a négyzetek összehasonlításával
Ha…	A háromszög	Mert
a² + b² = c²	derékszögű	a legnagyobb szög pontosan 90°
a² + b² > c²	hegyesszögű	a legnagyobb szög 90°-nál kisebb
a² + b² < c²	tompaszögű	a legnagyobb szög 90°-nál nagyobb

A háttérben a koszinusztétel áll: c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ. Ha a cos γ pozitív (hegyesszög), a jobb oldal kisebb lesz a² + b²-nél; ha negatív (tompaszög), nagyobb. A derékszög az a határeset, ahol a koszinusz nulla.

Kidolgozott példa · 12 cm, 16 cm és 20 cm

Derékszögű-e ez a háromszög?

A leghosszabb oldal a 20 cm, ennek a négyzete:20² = 400
A másik két oldal négyzetösszege:12² + 16² = 144 + 256 = 400
A két érték megegyezik:400 = 400

EredményIgen, derékszögű. A derékszög a 20 cm-es oldallal szemben van.

Kidolgozott példa · 5 cm, 7 cm és 9 cm

Milyen fajta ez a háromszög?

Leghosszabb oldal négyzete:9² = 81
A másik kettő négyzetösszege:5² + 7² = 25 + 49 = 74
Mivel 74 kisebb 81-nél:a² + b² < c²

EredményA háromszög tompaszögű – a 9 cm-es oldallal szemközti szög nagyobb 90°-nál.

Kidolgozott példa · 8 cm, 9 cm és 12 cm

Ez a háromszög nagyon közel van a derékszögűhöz. Melyik fajta?

Leghosszabb oldal négyzete:12² = 144
A másik kettő négyzetösszege:8² + 9² = 64 + 81 = 145
Mivel 145 nagyobb 144-nél:a² + b² > c²

EredményA háromszög hegyesszögű, bár épphogy: a legnagyobb szöge kb. 89,6°.

5–7–9: a legnagyobb szög tompaszög.

8–9–12: minden szög hegyesszög, de a legnagyobb már majdnem 90°.

A 3–4–5 szabály a gyakorlatban

A megfordítás nem elméleti csemege: az építkezéseken ezzel jelölik ki a derékszöget. Mérj az egyik falszakaszon 90 cm-t, a másikon 120 cm-t, és ha a két végpont távolsága pontosan 150 cm, akkor a sarok derékszögű.

Kidolgozott példa · Sarokkijelölés 90 cm – 120 cm – 150 cm

Tényleg derékszöget ad ez a három hossz?

A két rövidebb hossz négyzetösszege:90² + 120² = 8100 + 14400 = 22500
A leghosszabb négyzete:150² = 22500
Egyenlők, tehát a megfordítás szerint:γ = 90°

EredményIgen, a sarok pontosan derékszögű. Ez a 3–4–5 hármas harmincszorosa.

Gyors önellenőrzés

Derékszögű-e a 10, 24 és 27 cm oldalú háromszög?

Nem. 10² + 24² = 100 + 576 = 676, a leghosszabb oldal négyzete viszont 27² = 729. Mivel 676 kisebb, a háromszög tompaszögű.

Milyen háromszöget kapsz 6, 8 és 9 cm oldalakból?

6² + 8² = 100, a 9² = 81 pedig kisebb ennél, tehát hegyesszögű.

Lehet-e derékszögű az a háromszög, amelynek oldalai 7, 7 és 10 cm?

Majdnem, de nem: 7² + 7² = 98, a 10² = 100 viszont ennél nagyobb, tehát tompaszögű. Derékszögű egyenlő szárú háromszögnél az átfogó 7 · √2 = 9,90 cm lenne.

Gyakori kérdések

Mit mond ki a Pitagorasz-tétel megfordítása?

Ha egy háromszögben a két rövidebb oldal négyzetének összege egyenlő a leghosszabb oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű, és a derékszög a leghosszabb oldallal szemközti csúcsnál van.

Hogyan döntöm el három oldalból, hogy derékszögű-e a háromszög?

Keresd meg a leghosszabb oldalt, emeld négyzetre, és hasonlítsd a másik kettő négyzetösszegéhez. Egyenlőség esetén derékszögű, ha a négyzetösszeg nagyobb, hegyesszögű, ha kisebb, tompaszögű.

Miért kell külön bizonyítani a megfordítást?

Mert egy állítás igazságából nem következik a fordítottjának igazsága. A megfordítás bizonyítása egy a és b befogójú derékszögű segédháromszöget vesz fel, és megmutatja, hogy az egybevágó az eredetivel.

Mire jó a megfordítás a gyakorlatban?

Derékszög kijelölésére mérőszalaggal. A 90–120–150 cm-es (vagyis 3–4–5 arányú) háromszög sarka pontosan derékszögű, ezért az építőiparban ezzel ellenőrzik az alapok és a falak szögét.

Egy háromszög oldalai 5, 7 és 9 cm. Milyen háromszög ez?

Tompaszögű, mert 5² + 7² = 74, a leghosszabb oldal négyzete pedig 81. A 74 kisebb 81-nél, tehát a legnagyobb szög több 90°-nál.

A Pitagorasz-tétel megfordítása