Pitagorasz-tétel
A Pitagorasz-tétel bizonyítása
Nem egy bizonyítás van, hanem több száz. Itt az a három szerepel, amit érettségin és dolgozatban is elfogadnak – és mindegyik más gondolatra épül.
Röviden a válasz
A Pitagorasz-tétel legegyszerűbb bizonyítása átdarabolással megy: egy (a+b) oldalú négyzetbe kétféleképpen rakjuk be ugyanazt a négy derékszögű háromszöget, és összehasonlítjuk a maradék területet. Az egyik elrendezésben ez a2 + b2, a másikban c2 – tehát a kettő egyenlő.
Ugyanez levezethető hasonlósággal (a befogótételből) és Garfield trapézával is. Mindhárom levezetés területek összehasonlítására épül, csak más alakzatot bont fel.
1. Átdarabolós bizonyítás – területek összehasonlítása
A bizonyítandó állítás a Pitagorasz-tétel: derékszögű háromszögben a2 + b2 = c2, ahol c az átfogó. Az első levezetés egyetlen eszközt használ: a téglalap és a háromszög területképletét.
Vegyél egy (a+b) oldalú nagy négyzetet, és helyezz el benne négy egybevágó, a és b befogójú derékszögű háromszöget úgy, hogy a négy átfogó egy belső négyzetet zárjon körbe. Ennek a belső négyzetnek az oldala éppen c.
A levezetés
- A nagy négyzet területeAz oldala a + b, tehát a területe (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.
- Ugyanez darabonkéntNégy háromszög és a belső négyzet: 4 · a · b2 + c2 = 2ab + c2.
- A kettő ugyanaz a területEzért a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2.
- Vond ki mindkét oldalból a 2ab-tMarad: a2 + b2 = c2. Ez a Pitagorasz-tétel.
2. Bizonyítás hasonlósággal – a befogótételből
Húzd be az átfogóhoz tartozó magasságot. Ez két kisebb derékszögű háromszögre bontja az eredetit, és mindkét darab hasonló az eredeti háromszöghöz, mert a szögeik megegyeznek.
A hasonlóságból következik a befogótétel: mindegyik befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének szorzatával. Ha p az a vetülete és q a b vetülete, akkor:
Az utolsó lépés azon múlik, hogy a két vetület együtt kiadja a teljes átfogót: p + q = c. A részletes levezetést a derékszögű háromszög befogótétele oldalon találod.
3. Garfield trapézos bizonyítása
Ezt a levezetést James Garfield, az Egyesült Államok későbbi elnöke találta 1876-ban. Két egybevágó derékszögű háromszöget rakunk egymás mellé úgy, hogy egy derékszögű trapéz keletkezzen, majd a trapéz területét kétféleképpen számoljuk ki.
A trapéz területe kétféleképpen
- TrapézképlettelA párhuzamos oldalak a és b, a magasság a + b, tehát T = (a + b) · (a + b)2 = (a+b)22.
- DarabonkéntKét egybevágó derékszögű háromszög (a · b2 mindegyik) és egy c befogójú, derékszögű háromszög (c22): T = a · b + c22.
- Egyenlővé téveSzorozz kettővel: (a+b)2 = 2ab + c2, vagyis a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2.
- EgyszerűsítveMarad az a2 + b2 = c2.
Számpélda: nézzük meg konkrét számokkal
Kidolgozott példa · a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm
Ellenőrizzük a hasonlósági bizonyítás minden lépését számokkal!
- Az átfogóhoz tartozó magasság:mc = a · bc = 6 · 810 = 4,8 cm
- Az a befogó vetülete a befogótételből:p = a2c = 3610 = 3,6 cm
- A b befogó vetülete:q = b2c = 6410 = 6,4 cm
- A két vetület összege valóban az átfogó:p + q = 3,6 + 6,4 = 10 cm
- És a tétel:36 + 64 = 100 = 102
EredményA befogótételes levezetés számokkal is pontosan kijön: a2 + b2 = c · (p + q) = c2.
Gyors önellenőrzés
Miért nem elég a bizonyításhoz néhány konkrét számhármas ellenőrzése?
Az átdarabolós bizonyításban miért kell külön indokolni, hogy a belső alakzat négyzet?
Mi a kapcsolat a magasságtétel és a Pitagorasz-tétel között?
Gyakori kérdések
Hogyan bizonyítható a Pitagorasz-tétel?
A legegyszerűbben átdarabolással: egy (a+b) oldalú négyzet területét kétféleképpen írjuk fel, egyszer egészben ((a+b)2), egyszer négy derékszögű háromszög és egy c oldalú négyzet összegeként. A 2ab kiesik, marad az a2 + b2 = c2.
Hány bizonyítása van a Pitagorasz-tételnek?
Több száz ismert levezetése van, területi átdarabolásokkal, hasonlósággal, vektorokkal és trigonometriával is. Iskolai szinten az átdarabolós és a hasonlósági (befogótételes) bizonyítás a szokásos.
Melyik bizonyítást várják el a dolgozatban?
Általános iskolában az átdarabolós, területi levezetést, középiskolában gyakran a hasonlóságon alapulót. Mindkettőnél elvárás, hogy leírd, miért egyenlők az összehasonlított területek.
Mi Garfield trapézos bizonyítása?
Két egybevágó derékszögű háromszögből derékszögű trapézt raknak össze, amelynek párhuzamos oldalai a befogók, magassága a befogók összege. A trapéz területét trapézképlettel és a három háromszög összegeként is felírva adódik a tétel.
A tétel megfordítása is bizonyításra szorul?
Igen. Az, hogy derékszögből következik az a2 + b2 = c2, nem jelenti automatikusan a fordítottját. A megfordítás szokásos bizonyítása egy segédháromszöget vesz fel derékszöggel, és megmutatja, hogy az egybevágó az eredetivel.