Pitagorasz-tétel
Pitagoraszi számhármasok
Azok az egész számhármasok, amelyekre teljesül az a² + b² = c². Ha felismered őket, a feladat fele már meg is van oldva – gyökvonás nélkül.
Röviden a válasz
Pitagoraszi számhármasnak azokat a pozitív egész (a; b; c) hármasokat nevezzük, amelyekre a2 + b2 = c2 teljesül. A legismertebb a 3–4–5, ezt követi az 5–12–13, a 8–15–17 és a 7–24–25.
Minden hármas többszöröse is hármas (a 3–4–5-ből lesz 6–8–10 és 30–40–50), és végtelen sok van belőlük: az a = m2 − n2, b = 2mn, c = m2 + n2 képlettel bármelyik m > n egészpárból gyárthatsz egyet.
Számhármas-ellenőrző
Írd be a két befogót – ha az átfogó egész szám lesz, pitagoraszi számhármast találtál.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mi a pitagoraszi számhármas?
Három pozitív egész szám alkot pitagoraszi számhármast, ha a két kisebb négyzetének összege egyenlő a legnagyobb négyzetével – vagyis ha teljesül rájuk a Pitagorasz-tétel. Az ilyen hármasokból a tétel megfordítása szerint mindig derékszögű háromszög szerkeszthető.
A leggyakoribb hármasok táblázata
| Befogók | Átfogó | Ellenőrzés |
|---|---|---|
| 3 és 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 és 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 és 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 és 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 és 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
| 12 és 35 | 37 | 144 + 1225 = 1369 |
| 9 és 40 | 41 | 81 + 1600 = 1681 |
| 28 és 45 | 53 | 784 + 2025 = 2809 |
| 11 és 60 | 61 | 121 + 3600 = 3721 |
| 16 és 63 | 65 | 256 + 3969 = 4225 |
| 33 és 56 | 65 | 1089 + 3136 = 4225 |
| 48 és 55 | 73 | 2304 + 3025 = 5329 |
| 13 és 84 | 85 | 169 + 7056 = 7225 |
| 36 és 77 | 85 | 1296 + 5929 = 7225 |
| 39 és 80 | 89 | 1521 + 6400 = 7921 |
| 65 és 72 | 97 | 4225 + 5184 = 9409 |
Primitív és származtatott hármasok
Egy hármas primitív, ha a három számnak nincs 1-nél nagyobb közös osztója. A táblázat mindegyik sora ilyen. Ha egy primitív hármas minden tagját megszorzod ugyanazzal a számmal, újabb – de már nem primitív – hármast kapsz.
- 3–4–5 kétszerese: 6–8–10 (36 + 64 = 100),
- 3–4–5 hétszerese: 21–28–35 (441 + 784 = 1225),
- 5–12–13 négyszerese: 20–48–52 (400 + 2304 = 2704).
A származtatott hármasokból szerkesztett háromszögek hasonlók az eredetihez: a szögeik ugyanakkorák, csak a méret változik. Ezért is elég néhány primitív hármast megjegyezni.
Hogyan gyárthatsz újakat? – Eukleidész képlete
Válassz két pozitív egészet, m > n-t, és számold ki a következő hármat. Az eredmény mindig pitagoraszi számhármas lesz.
A hármas akkor lesz primitív, ha m és n relatív prímek, és nem azonos paritásúak (az egyik páros, a másik páratlan).
Kidolgozott példa · m = 6, n = 5
Állítsunk elő egy pitagoraszi számhármast!
- Az első befogó:a = 62 − 52 = 36 − 25 = 11
- A második befogó:b = 2 · 6 · 5 = 60
- Az átfogó:c = 62 + 52 = 36 + 25 = 61
- Ellenőrzés:112 + 602 = 121 + 3600 = 3721 = 612
EredményA 11–60–61 hármas primitív, mert a 6 és az 5 relatív prím, és eltérő paritású.
Kidolgozott példa · m = 7, n = 2
Egy nagyobb hármas előállítása ugyanazzal a képlettel.
- Befogó:a = 72 − 22 = 49 − 4 = 45
- Befogó:b = 2 · 7 · 2 = 28
- Átfogó:c = 72 + 22 = 49 + 4 = 53
- Ellenőrzés:452 + 282 = 2025 + 784 = 2809 = 532
EredményA 28–45–53 hármas – szintén primitív.
A 3–4–5 háromszög
A legismertebb hármas nemcsak a legkisebb, hanem a leghasznosabb is. Az oldalarányból következik a két hegyesszög: tg α = 34 = 0,75, ebből α = 36,87°, a másik szög pedig β = 53,13°. Ezek az értékek minden 3–4–5 arányú háromszögben ugyanezek.
| Szorzó | Oldalak | Hol találkozol vele |
|---|---|---|
| ×1 | 3 – 4 – 5 | tankönyvi alapfeladat |
| ×2 | 6 – 8 – 10 | gyakori dolgozatpélda |
| ×5 | 15 – 20 – 25 | méterben mérhető szakaszok |
| ×30 | 90 – 120 – 150 cm | derékszög kijelölése építkezésen |
Az utolsó sor a hármasok legrégebbi gyakorlati alkalmazása: mérőszalaggal ellenőrizhető vele, hogy egy sarok pontosan derékszögű-e. Erről és a többi felhasználásról a Pitagorasz-tétel alkalmazása oldalon olvashatsz.
Gyors önellenőrzés
Pitagoraszi számhármas-e a 15, 36 és 39?
Hármast alkot-e a 8, 10 és 13?
Milyen hármast ad az m = 4, n = 1 páros az Eukleidész-képletben?
Miért nem lehet minden derékszögű háromszög oldala egész szám?
Gyakori kérdések
Mi a pitagoraszi számhármas?
Három pozitív egész szám, amelyekre teljesül az a2 + b2 = c2. Ilyen a 3–4–5, az 5–12–13 és a 8–15–17. Belőlük mindig derékszögű háromszög szerkeszthető.
Mit jelent a 3-4-5 háromszög?
Azt a derékszögű háromszöget, amelynek befogói 3 és 4, átfogója 5 egység. Szögei 36,87°, 53,13° és 90°. Ez a legkisebb egész oldalú derékszögű háromszög.
Hány pitagoraszi számhármas van?
Végtelen sok. Az a = m2 − n2, b = 2mn, c = m2 + n2 képlet minden m > n pozitív egészpárból ad egyet, ráadásul minden hármas minden többszöröse is hármas.
Mit jelent, hogy egy hármas primitív?
Azt, hogy a három számnak nincs 1-nél nagyobb közös osztója. A 3–4–5 primitív, a 6–8–10 viszont nem, mert mindhárom tagja osztható 2-vel.
Hogyan ellenőrzöm, hogy három szám hármast alkot-e?
Emeld négyzetre a legnagyobbat, és hasonlítsd a másik kettő négyzetösszegéhez. Egyenlőség esetén hármasról van szó, különben nem.