Területszámítás
Egyenlő oldalú háromszög területe
Egyetlen adatból minden kijön: az oldalból a terület, a területből az oldal. A képlet mögött egyetlen levágott derékszögű háromszög és a gyök 3 áll.
Röviden a válasz
Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög területe T = a2 · √34, ahol a az oldal hossza. Számmal: az oldal négyzetének körülbelül a 0,433-szorosa.
Egy 10 cm oldalú szabályos háromszög területe így T = 100 · 1,7324 = 43,30 cm². Visszafelé: a = √4 · T√3.
Szabályos háromszög kalkulátor
Egyetlen adat elég: oldal, magasság, kerület vagy terület – a többi magától kijön.
Egyetlen adatból az összes többi következik – minden szöge 60°.
- a oldal
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Honnan jön a gyök 3 a képletben?
Az egyenlő oldalú háromszögben mindhárom oldal egyenlő, és mindhárom szög 60°. Ha behúzod az egyik magasságot, az felezi a szemközti oldalt, és két egybevágó derékszögű háromszög keletkezik. Ennek befogói a fél oldal és a magasság, átfogója pedig a teljes oldal.
A √3 tehát nem varázslat: abból jön, hogy a2 − a24 = 3 · a24, és ebből vonunk gyököt. Számértéke 1,7320…, ezért a végképletben szereplő √34 ≈ 0,4330 szorzót érdemes fejben tartani.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Oldal: 10 cm
Mekkora a szabályos háromszög területe?
- Behelyettesítés a képletbe:T = 102 · √34 = 100 · 1,73204
- A szorzás:T = 173,204
- Vagyis:T = 43,30 cm2
EredményT = 43,30 cm² (pontosan 25 √3 cm²)
Kidolgozott példa · Kerület: 36 cm
A kerületből kell területet számolni.
- A szabályos háromszög kerülete K = 3a, tehát az oldal:a = 363 = 12 cm
- Most jöhet a területképlet:T = 122 · √34 = 144 · 1,73204
- Vagyis:T = 62,35 cm2
EredményT = 62,35 cm² (pontosan 36 √3 cm²)
Kidolgozott példa · Magasság: 9 cm
Csak a magasság ismert – mekkora a terület?
- A magasságképletet átrendezve az oldalra:a = 2 · m√3 = 181,7320 = 10,39 cm
- Innen mehet a szokásos területképlet:T = a · m2 = 10,39 · 92
- Vagyis:T = 46,77 cm2
EredményT = 46,77 cm² (pontosan m2√3 = 27 √3 cm²)
Visszafelé: területből az oldal
Ha a területet adják meg, és az oldalt kérdezik, rendezd át a képletet:
| Oldal (cm) | Magasság (cm) | Kerület (cm) | Terület (cm²) |
|---|---|---|---|
| 4 | 3,46 | 12 | 6,93 |
| 6 | 5,20 | 18 | 15,59 |
| 8 | 6,93 | 24 | 27,71 |
| 10 | 8,66 | 30 | 43,30 |
| 12 | 10,39 | 36 | 62,35 |
A táblázatból az is látszik, hogy ha az oldal kétszeresére nő, a terület négyszeresére. A 6 cm oldalú háromszög területe 15,59 cm², a 12 cm oldalúé 62,35 cm² – pontosan a négyszerese.
Gyors önellenőrzés
Mekkora a 2 cm oldalú szabályos háromszög területe?
Melyik nagyobb: egy 6 cm oldalú szabályos háromszög területe vagy egy 6 cm oldalú négyzeté?
Ugyanaz-e az „egyenlő oldalú" és a „szabályos" háromszög?
Gyakori kérdések
Mi az egyenlő oldalú háromszög területének képlete?
T = a2 · √34, ahol a az oldal. Ez azt jelenti, hogy az oldal négyzetét körülbelül 0,433-mal kell szorozni.
Hogyan számolom ki a területet, ha csak a kerületet tudom?
Oszd el a kerületet hárommal – ez az oldal –, majd használd a területképletet. 36 cm kerületnél az oldal 12 cm, a terület 62,35 cm².
Mekkora az egyenlő oldalú háromszög magassága?
m = a · √32, vagyis az oldal 0,866-szorosa. Egy 10 cm oldalú háromszögnél ez 8,66 cm.
Az egyenlő oldalú háromszög egyben egyenlő szárú is?
Igen. Bármelyik oldalát alapnak választva a másik kettő egyenlő szár, ezért minden egyenlő oldalú háromszög egyben egyenlő szárú is – fordítva viszont nem igaz.
Mekkorák az egyenlő oldalú háromszög szögei?
Mindhárom 60°, mert a három egyenlő szög összege 180°. Ezért is működik minden szögfüggvényes területképlet ugyanarra az eredményre.