Háromszögfajták
Egyenlő oldalú háromszög
Egyetlen adat – az oldal – meghatározza az egészet. Ha az öt arányszámot ismered (0,866; 0,433; 0,577; 0,289; 3), minden kérdésre egy szorzással válaszolsz.
Röviden a válasz
Az egyenlő oldalú (más néven szabályos) háromszög mindhárom oldala egyenlő, és emiatt mindhárom szöge 60°. Három szimmetriatengelye van, és a súlypont, a magasságpont, valamint a beírt és a köré írt kör középpontja egyetlen pontba esik.
Az összes adata az oldal állandószorosa: a magasság 0,866 · a, a terület 0,433 · a2, a köré írt kör sugara 0,577 · a, a beírt köré 0,289 · a.
Egyenlő oldalú háromszög kalkulátor
Elég egyetlen adat: oldal, magasság, kerület vagy terület – a többi azonnal megjelenik.
Egyetlen adatból az összes többi következik – minden szöge 60°.
- a oldal
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért 60° minden szöge?
Mert egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek állnak. Ha mindhárom oldal egyenlő, mindhárom szög is az, és mivel az összegük 180°, mindegyik 180°3 = 60°. Ez fordítva is működik: ha egy háromszög mindhárom szöge 60°, akkor az oldalai is egyenlők.
Elég ennél kevesebb is: ha egy háromszög egyenlő szárú, és a szárszöge 60°, akkor már szabályos – az alapon fekvő szögek ugyanis ekkor 180° − 60°2 = 60°-osak lesznek.
Az öt arányszám
Minden mennyiség az oldal állandószorosa, és az állandókban mindig a √3 ≈ 1,732 bújik meg. Érdemes az arányszámokat fejben tartani, mert az ellenőrzéshez elég egy szorzás.
| Mennyiség | Képlet | Arányszám | a = 16 cm esetén |
|---|---|---|---|
| Kerület | K = 3a | 3 | 48 cm |
| Magasság | m = a · √32 | 0,866 | 13,86 cm |
| Terület | T = a2 · √34 | 0,433 | 110,85 cm² |
| Köré írt kör sugara | R = a · √33 | 0,577 | 9,24 cm |
| Beírt kör sugara | r = a · √36 | 0,289 | 4,62 cm |
Számolás az oldalból
Kidolgozott példa · a = 16 cm
Számoljuk ki a magasságot és a területet!
- A magasság a felezett alapból, Pitagorasz-tétellel:m = √162 − 82 = √256 − 64 = √192
- Vagyis:m = 13,86 cm
- A terület a szokásos képlettel:T = 16 · 13,85642 = 110,85 cm2
- Ellenőrzés a rövid képlettel:T = 162 · 1,73214 = 110,85 cm2
Eredménym = 13,86 cm, T = 110,85 cm²
A magasság levezetése azon múlik, hogy a magasság felezi az alapot, és a levágott darab egy félszabályos háromszög – innen jön a √3 minden képletben.
Visszafelé: kerületből, magasságból, területből
Mivel minden az oldal állandószorosa, visszafelé mindig osztani kell ugyanazzal az arányszámmal.
Kidolgozott példa · A kerület 33 cm
Mekkora az oldal, a magasság és a terület?
- Az oldal a kerület harmada:a = 333 = 11 cm
- A magasság az arányszámmal:m = 11 · 0,866 = 9,53 cm
- A terület:T = 112 · 1,73214 = 52,39 cm2
Eredménya = 11 cm, m = 9,53 cm, T = 52,39 cm²
Ha a területből indulsz, az egyenlő oldalú háromszög területe oldalon találsz részletes visszafelé számolást, a magasságról pedig a szabályos háromszög magassága oldalon írtunk.
Szimmetria és nevezetes pontok
Az egyenlő oldalú háromszögnek három szimmetriatengelye van: mindhárom oldal felezőmerőlegese. Ezenkívül 120°-os forgásszimmetriája is van a középpontja körül. A négy nevezetes pont – súlypont, magasságpont, a beírt és a köré írt kör középpontja – egyetlen pontba esik; ez csak a szabályos háromszögnél fordul elő.
A szabályos háromszög egyben egyenlő szárú is – méghozzá bárhogyan választod ki az alapot. Ezért minden egyenlő szárú képlet érvényes rá, csak sokkal egyszerűbb alakban.
Gyors önellenőrzés
Egy szabályos háromszög oldala 4 cm. Mekkora a magassága?
Lehet-e egy egyenlő oldalú háromszög tompaszögű?
Melyik nagyobb: a beírt vagy a köré írt kör sugara, és hányszorosa?
Gyakori kérdések
Mi az egyenlő oldalú háromszög?
Olyan háromszög, amelynek mindhárom oldala egyenlő hosszú. Ebből következik, hogy mindhárom szöge 60°. Másik neve: szabályos háromszög.
Hogyan számolom ki az egyenlő oldalú háromszög területét?
T = a2 · √34, ami számmal az oldal négyzetének 0,433-szorosa. Például 16 cm-es oldalnál T = 110,85 cm².
Hogyan kapom meg az egyenlő oldalú háromszög magasságát?
m = a · √32, vagyis az oldal 0,866-szorosa. A képlet onnan jön, hogy a magasság felezi az alapot, és a levágott derékszögű háromszögre Pitagorasz-tételt alkalmazunk.
Mekkorák az egyenlő oldalú háromszög szögei?
Mindhárom szöge 60°, mert a három egyenlő szög összege 180°. Ez fordítva is igaz: ha mindhárom szög 60°, a háromszög szabályos.
Hány szimmetriatengelye van?
Három: mindhárom oldal felezőmerőlegese egyben szimmetriatengely. Emellett 120°-os forgásszimmetriája is van a középpontja körül.
Ugyanaz a szabályos és az egyenlő oldalú háromszög?
Igen, a két elnevezés ugyanazt jelenti. A tankönyvek hol egyiket, hol másikat használják, a képletek pedig azonosak.