Háromszögfajták
Tükrös háromszög
A szó két dolgot jelenthet: magát a szimmetrikus háromszöget, vagy két háromszög tükörképi kapcsolatát. Mindkettőt tisztázzuk, mert a feladatokban keverednek.
Röviden a válasz
A tükrös háromszög a tengelyesen szimmetrikus háromszög iskolai neve: van egy olyan tengelye, amelyre tükrözve önmagát adja vissza. Ez pontosan az egyenlő szárú háromszög – a szabályos háromszög pedig ennek a legszimmetrikusabb esete, három tengellyel.
A kifejezés másik jelentése két háromszög kapcsolatára utal: tükrösen egybevágó az a két háromszög, amelyik egymás tükörképe. Ezek minden oldala és szöge megegyezik, de a csúcsok körüljárási iránya ellentétes, ezért a síkban csúsztatva-forgatva soha nem fedhetők egymásra.
Tükrös háromszög kalkulátor
A tükrös háromszöghöz elég két adat: az alap és a szár. A beállított 18 cm-es alaphoz és 15 cm-es szárhoz 12 cm-es tengely és 108 cm²-es terület tartozik.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik háromszög tükrös?
Az, amelyiknek két oldala egyenlő. A tükrözés ugyanis a tengelyen lévő csúcsot helyben hagyja, a másik kettőt pedig kicseréli – ehhez viszont a hozzájuk vezető két oldalnak egyforma hosszúnak kell lennie. A tengely mindig az alap felező merőlegese.
- Általános háromszög (három különböző oldal): nem tükrös, nincs tengelye.
- Egyenlő szárú háromszög: tükrös, egyetlen tengellyel.
- Egyenlő szárú derékszögű háromszög: szintén tükrös, a tengely a derékszögű csúcsból indul.
- Szabályos háromszög: háromszorosan tükrös, mindhárom magasságvonala tengely.
Kidolgozott példa · Alap 18 cm, szárak 15 cm
Mekkora a tengely hossza, a terület és a háromszög szögei?
- A tengely felezi az alapot, tehát egy 9 cm-es befogójú derékszögű háromszög keletkezik:m = √152 − 92 = √225 − 81 = √144 = 12 cm
- A terület az alappal és ezzel a magassággal:T = 18 · 122 = 108 cm2
- Az alapon fekvő szög a derékszögű részháromszögből:cos β = 915 = 0,6 → β = 53,13°
- A szárszög:α = 180° − 2 · 53,13° = 73,74°
EredményA tengely 12 cm, a terület 108 cm², a szögek 53,13°, 53,13° és 73,74°.
Egybevágó tükrös háromszögek
A másik gyakori kérdés nem egy háromszögről, hanem kettőről szól. Két háromszög tükrösen egybevágó, ha az egyik a másiknak a tengelyes tükörképe. Ilyenkor minden megfelelő oldal és szög egyenlő – a terület, a kerület, a magasságok is –, egyetlen dolog tér el: a csúcsok körüljárási iránya.
| Mennyiség | Változik? |
|---|---|
| Oldalak hossza | nem |
| Szögek nagysága | nem |
| Kerület és terület | nem |
| A csúcsok körüljárási iránya | igen, megfordul |
| A háromszög helyzete a síkon | igen |
Emiatt egy tükrösen egybevágó párt a papíron csúsztatva vagy forgatva nem lehet egymásra illeszteni – ki kell emelni és át kell fordítani a lapot. Ez ugyanaz a jelenség, mint a bal és a jobb kesztyű: minden méretük egyezik, mégsem cserélhetők fel. A tükrözés lépéseit a tengelyes tükrözés és a háromszög oldalon nézheted meg.
Tükrös háromszög szerkesztése
Alapból és szárból
- Mérd fel az alapot, például 18 cm-t, és jelöld a végpontokat A-val és B-vel.
- Szerkeszd meg az alap felező merőlegesét: az alap felénél nagyobb körzőnyílással szúrj A-ba, majd B-be, és kösd össze a körívek metszéspontjait. Ez a szimmetriatengely.
- Nyisd a körzőt a szár hosszára (15 cm), szúrj A-ba, és metszd el a tengelyt – a metszéspont a C csúcs.
- Kösd össze C-t A-val és B-vel. A szimmetria magától adódik, mert C a tengelyen van.
Ha alap helyett a magasság ismert, ugyanígy kezdj: a tengelyre mérd fel a magasságot, és a végpontját kösd össze az alap végpontjaival. A további szerkesztési eseteket a tükrös háromszög szerkesztése oldal részletezi, a fogalom szimmetriaoldalát pedig a szimmetrikus háromszög oldalon találod.
Gyors önellenőrzés
Tükrös-e az a háromszög, amelynek oldalai 7 cm, 7 cm és 11 cm?
Két háromszög minden oldala páronként egyenlő, de a körüljárási irányuk ellentétes. Egybevágók?
Hány tengelye van a szabályos háromszögnek?
Gyakori kérdések
Mi az a tükrös háromszög?
A tengelyesen szimmetrikus háromszög iskolai elnevezése: van olyan egyenes, amelyre tükrözve önmagába megy át. Ez pontosan az egyenlő szárú háromszög, mert a tükrözéshez két egyenlő oldalra van szükség.
Minden egyenlő szárú háromszög tükrös?
Igen, és fordítva is igaz: minden tükrös háromszög egyenlő szárú. A szabályos háromszög egyszerre három tengelyre tükrös.
Mit jelent, hogy két háromszög egybevágó és tükrös?
Azt, hogy az egyik a másik tengelyes tükörképe: minden oldaluk és szögük egyenlő, de a csúcsok körüljárási iránya ellentétes. A síkban elcsúsztatva vagy elforgatva nem hozhatók fedésbe, csak átfordítással.
Hogyan szerkesztek tükrös háromszöget?
Rajzold meg az alapot, szerkeszd meg a felező merőlegesét, majd a szár hosszára nyitott körzővel az alap egyik végpontjából metszd el ezt a tengelyt. A metszéspont lesz a harmadik csúcs.
Lehet egy tükrös háromszög derékszögű vagy tompaszögű?
Mindkettő lehet. Ha a szárszög 90°, egyenlő szárú derékszögű háromszöget kapsz 45°-os alapon fekvő szögekkel; ha a szárszög 90° fölött van, például 120°, akkor tompaszögű, 30°-os alapszögekkel.