Háromszögfajták
Egyenlő szárú háromszög
A legfontosabb gyakorlati tudnivaló: ebben a háromszögben két adat mindig elég az összes többihez. Itt megtalálod, melyik két adatból melyik úton jutsz célba.
Röviden a válasz
Az egyenlő szárú háromszögnek két egyenlő hosszú oldala van – ezek a szárak –, a harmadik oldal az alap. A két szár által bezárt szög a szárszög, a másik két szög az alapon fekvő szög, és ezek egyenlők.
Bármely két adatból (például alap és szár, alap és magasság, szár és szárszög) az összes többi kiszámolható, mert az alaphoz tartozó magasság két egybevágó derékszögű háromszögre bontja az alakzatot.
Egyenlő szárú háromszög kalkulátor
Bármelyik két adat elég: alap, szár, magasság, alapon fekvő szög vagy szárszög.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az elnevezések
A két egyenlő oldal a szár, a harmadik az alap. Az alappal szemközti szög a szárszög, az alap két végénél lévő szögek pedig az alapon fekvő szögek. Ezek egyenlők – ez a definícióból következik, hiszen egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek állnak.
Melyik két adatból mi jön ki?
Ez a táblázat a leggyakoribb feladattípusokat rendezi. A közös pont: az első lépés szinte mindig az alaphoz tartozó magasság vagy a fél alap.
| Amit tudsz | Első lépés | Mi jön ki belőle |
|---|---|---|
| alap (a) és szár (b) | m = √b2 − (a2)2 | magasság, terület, szögek |
| alap és magasság | b = √m2 + (a2)2 | szár, kerület, szögek |
| szár és szárszög (α) | a = 2b · sin α2 | alap, magasság, terület |
| alap és alapon fekvő szög (β) | m = a2 · tg β | magasság, szár, terület |
| terület és alap | m = 2 · Ta | magasság, szár, szögek |
A szögek: egyetlen adat elég
Mivel két szög egyenlő, egyetlen szögből az összes többi következik. A két összefüggés egymás megfordítása:
Kidolgozott példa · A szárszög 44°
Mekkorák az alapon fekvő szögek?
- A három szög összege 180°, a szárszög elvisz 44°-ot:180° − 44° = 136°
- A maradékon a két egyenlő szög osztozik:β = 136°2 = 68°
- Ellenőrzés:44° + 68° + 68° = 180°
EredményMindkét alapon fekvő szög 68°.
Oldalak, magasság, terület
Kidolgozott példa · Alap 30 cm, szár 25 cm
Mekkora a magasság, a terület, a kerület és a szögek?
- A magasság felezi az alapot, a fél alap 15 cm. A derékszögű félháromszögből:m = √252 − 152 = √625 − 225 = 20 cm
- A terület:T = 30 · 202 = 300 cm2
- A kerület:K = 30 + 2 · 25 = 80 cm
- Az alapon fekvő szög a fél alap és a szár hányadosából:cos β = 1525 = 0,6 → β = 53,13°
- A szárszög:α = 180° − 2 · 53,13° = 73,74°
Eredménym = 20 cm, T = 300 cm², K = 80 cm, β = 53,13°, α = 73,74°
A részletes képletgyűjtemények külön oldalakon: egyenlő szárú háromszög területe, magassága, szögei és kerülete.
A két nevezetes speciális eset
- Ha a szárszög 60°, akkor az alapon fekvő szögek is 60°-osak, és a háromszög egyenlő oldalú lesz – minden oldal egyenlő.
- Ha a szárszög 90°, akkor az alapon fekvő szögek 45°-osak: ez az egyenlő szárú derékszögű háromszög, ahol az alap a szár √2-szerese.
Az egyenlő szárú háromszög egyben az egyetlen tengelyesen szimmetrikus háromszög is – a szimmetriatengelye az alap felezőmerőlegese.
Gyors önellenőrzés
Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szöge 55°. Mekkora a szárszög?
Lehet-e egy egyenlő szárú háromszögnek két tompaszöge?
Az alap 30 cm, a szár 25 cm. Mekkora a szárhoz tartozó magasság?
Gyakori kérdések
Mi az egyenlő szárú háromszög?
Olyan háromszög, amelynek két oldala egyenlő hosszú. A két egyenlő oldal a szár, a harmadik az alap, és az alapon fekvő két szög is egyenlő.
Hogyan számolom ki az egyenlő szárú háromszög területét?
T = a · m2, ahol a az alap, m pedig az alaphoz tartozó magasság. Ha a magasságot nem adták meg, a szárból számold: m = √b2 − (a2)2. Például 30 cm-es alappal és 25 cm-es szárral T = 300 cm².
Hogyan kapom meg az egyenlő szárú háromszög magasságát?
Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, így a szár, a fél alap és a magasság derékszögű háromszöget alkot. Innen Pitagorasz-tétellel m = √b2 − (a2)2.
Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei?
A két alapon fekvő szög mindig egyenlő. A szárszögből β = 180° − α2, az alapon fekvő szögből pedig α = 180° − 2β adódik. Egyetlen szögadat tehát elég mindhárom szöghöz.
Van-e egyenlő szárú háromszög kalkulátor az oldalon?
Igen, a lap tetején. Írj be bármelyik két adatot – alapot, szárat, magasságot, alapon fekvő szöget vagy szárszöget –, és az oldalak, szögek, a terület, a kerület, valamint a beírt és köré írt kör sugara is megjelenik.
Minden egyenlő oldalú háromszög egyenlő szárú is?
Igen. Ha mindhárom oldal egyenlő, akkor bármelyik kettő is az, tehát a szabályos háromszög az egyenlő szárú háromszögek speciális esete.