MatematikaMódszertan– főoldal

Szögszámítás

A háromszög belső szögeinek összege – feladatok és sokszögek

A tételt mindenki tudja. Ez az oldal arról szól, hogyan lesz belőle megoldás: mikor kell egyenletet felírni, és hogyan terjed ki a szabály sokszögekre.

Frissítve: 2 perc olvasás7–10. osztály

Röviden a válasz

A háromszög belső szögeinek összege 180°, és a feladatokban ez szinte mindig egyenletként jelenik meg: az ismeretlen szögeket x-szel írod fel, összegüket 180°-kal teszed egyenlővé, és megoldod.

Sokszögekre a szabály általánosodik: egy n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n − 2) · 180°, mert n − 2 háromszögre bontható.

Szögellenőrző kalkulátor

Ha kiszámoltad a szögeket, itt ellenőrizheted: írd be kettőt és egy oldalt, a harmadik adódik.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Bemeneti adatok
a = 12 cmb = 20,84 cmc = 18,12 cmABC
Példa:
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

    A tétel egy sorban, aztán a munka

    A háromszög három belső szögének összege 180°, tehát α + β + γ = 180°. Hogy miért ennyi, azt a párhuzamos egyeneses bizonyítás mutatja meg a belső szögek összege oldalon. Itt most az következik, amit a dolgozat kér: a négy tipikus feladattípus.

    1. Két szög adott, a harmadikat kell megkapni – egyszerű kivonás.
    2. A szögek aránya adott – egyenlet egy ismeretlennel.
    3. Az egyik szög a másikhoz viszonyítva adott („15°-kal nagyobb”) – szintén egyenlet.
    4. Speciális háromszög (egyenlő szárú, derékszögű) – a típus ad plusz egyenletet.

    1. típus: arányos szögek

    Ha az arány 1 : 2 : 3, akkor nem az arányszámokat adod össze, hanem bevezetsz egy egységet: legyen a legkisebb szög x, a többi ennek a többszöröse.

    Kidolgozott példa · A szögek aránya 1 : 2 : 3

    Mekkorák a szögek, és milyen a háromszög?

    1. A szögek x, 2x és 3x, összegük 180°:x + 2x + 3x = 180°
    2. Összevonva és osztva:6x = 180° → x = 30°
    3. A három szög:α = 30°, β = 60°, γ = 90°

    Eredmény30°, 60° és 90° – ez derékszögű háromszög.

    α = 30°β = 60°abcABC

    2. típus: viszonyítás („nagyobb, mint”)

    Itt az egyik szöget a másikkal fejezed ki, és marad egyetlen ismeretlen. A trükk az, hogy a legegyszerűbb szöget válaszd x-nek – azt, amelyikhez a többit hasonlítják.

    Kidolgozott példa · γ = 75°, és α 15°-kal nagyobb, mint β

    Mekkora α és β?

    1. A két ismeretlen szög összege:α + β = 180° − 75° = 105°
    2. Legyen β = x, ekkor α = x + 15°:x + (x + 15°) = 105°
    3. Rendezve:2x = 90° → x = 45°
    4. Vissza:β = 45°, α = 45° + 15° = 60°

    Eredményα = 60°, β = 45°, γ = 75° – összegük valóban 180°.

    3. típus: egyenlő szárú háromszög

    Egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő két szög egyenlő. Ez a plusz információ pótolja a hiányzó adatot: egyetlen szögből az összes többi kijön.

    Kidolgozott példa · Egyenlő szárú háromszög, a szárszög 36°

    Mekkorák az alapon fekvő szögek?

    1. A két alapon fekvő szög egyenlő, jelöljük őket x-szel:36° + x + x = 180°
    2. Kivonás után:2x = 144°
    3. Osztva kettővel:x = 72°

    EredményAz alapon fekvő szögek 72° és 72°, a szárszög 36°.

    α = 36°β = 72°γ = 72°abcABC

    És a sokszögek? – (n − 2) · 180°

    A háromszög szögösszege azért fontos, mert minden sokszög szögösszege belőle jön. Egy konvex n-szöget az egyik csúcsából induló átlókkal n − 2 darab háromszögre lehet vágni, és ezek szögei együtt épp a sokszög szögeit adják.

    Konvex sokszög belső szögeinek összegeS = (n − 2) · 180°Háromszögnél n = 3, tehát S = 1 · 180° = 180° – a képlet önmagát is visszaadja.
    Szögösszeg oldalszám szerint
    SokszögOldalszámBelső szögek összegeSzabályos esetben egy szög
    Háromszög3180°60°
    Négyszög4360°90°
    Ötszög5540°108°
    Hatszög6720°120°
    Nyolcszög81080°135°

    A hatszög belső szögeinek összege például 720°, és mivel a szabályos hatszög hat egybevágó szögből áll, mindegyik 120°. A külső szögek összege ezzel szemben minden konvex sokszögnél 360°.

    Gyors önellenőrzés

    Egy háromszög szögeinek aránya 4 : 5 : 9. Mekkorák a szögek?
    Az arányszámok összege 18, és 180° : 18 = 10°. A szögek tehát 40°, 50° és 90°.
    Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szöge 50°. Mekkora a szárszög?
    180° − 2 · 50° = 80°.
    Mennyi egy szabályos tízszög egy belső szöge?
    A szögösszeg (10 − 2) · 180° = 1440°, ezt tízzel osztva 144°.

    Gyakori kérdések

    Mennyi egy háromszög belső szögeinek összege?

    180° minden síkháromszögben. Ez a feladatokban azt jelenti, hogy a három szöget összeadva 180°-ot kell kapnod – ez egyben az ellenőrzés is.

    Hogyan oldjam meg az arányos szögfeladatokat?

    Add össze az arányszámokat, oszd el vele a 180°-ot, és a kapott értéket szorozd az egyes arányszámokkal. Például 2 : 3 : 4 esetén 180° : 9 = 20°, a szögek 40°, 60° és 80°.

    Mennyi a derékszögű háromszög belső szögeinek összege?

    Szintén 180°. Mivel az egyik szög 90°, a két hegyesszög összege 90°, ezért ha az egyiket ismered, a másik egyetlen kivonás.

    Miért (n − 2) · 180° a sokszög szögösszege?

    Mert egy csúcsból húzott átlók a konvex n-szöget pontosan n − 2 háromszögre bontják, és ezek szögei hiánytalanul kiadják a sokszög belső szögeit.

    Egy háromszögnek lehet két tompaszöge?

    Nem. Két tompaszög összege már meghaladja a 180°-ot, így a harmadik szögnek nem maradna hely. Minden háromszögben legalább két hegyesszög van.

    Hova tovább?

    Belső szögek összegeA háromszög belső szögeinek összege 180°. Itt van a párhuzamos egyeneses bizonyítás, a papírkísé…Háromszög belső szögeiA háromszög három belső szöge mindig 180°-ot ad ki. Így számolod ki a hiányzó szöget, ilyenek a …Hatszög belső szögeiA hatszög belső szögeinek összege 720°, a szabályos hatszög egy szöge 120°. Itt a képlet minden …Belső szögek arányaHa a belső szögek aránya adott, oszd el a 180°-ot az arányszámok összegével. Képlet, két végigsz…Egyenlő szárú háromszög szögeiAz egyenlő szárú háromszög két alapon fekvő szöge egyenlő. Innen egyetlen szögből mind a három k…SzögszámításHáromszög szögszámítás lépésről lépésre: a 180°-os szabály, a szögfüggvények és a koszinusztétel…

    Írj be legalább két betűt. A nyilakkal léphetsz, Enterrel megnyitod.