MatematikaMódszertan– főoldal

Nevezetes vonalak és pontok

Tompaszögű háromszög köré írható kör

A képletek ugyanazok maradnak, csak a rajz lesz szokatlan: a körző hegye kikerül a háromszögből. Itt van, mennyivel, és miért nem baj ez a számolás szempontjából.

Frissítve: 2 perc olvasás9–12. osztály

Röviden a válasz

Tompaszögű háromszögnek is pontosan egy köré írható köre van, de a középpontja a háromszögön kívülre esik: a leghosszabb oldal (a tompaszöggel szemközti oldal) túloldalára, a tompaszögű csúccsal ellentétes irányba.

A sugár képlete változatlan: R = c2 · sin γ vagy R = a · b · c4 · T. A szinusz tompaszögre is pozitív, ezért a képlet minden módosítás nélkül működik.

Tompaszögű háromszög köré írt körének sugara

A beállított 3 – 5 – 7 oldalú háromszög tompaszögű: a leghosszabb oldallal szemközti szöge 120°. Írd át az oldalakat, és nézd meg, hogyan változik $R$.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Bemeneti adatok
a = 3 cmb = 5 cmc = 7 cmABC
Példa:
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

    Hova kerül a középpont?

    A köré írható kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja – ez tompaszögű háromszögben is így van. A különbség csak annyi, hogy ez a metszéspont a háromszögön kívül keletkezik, a leghosszabb oldal másik oldalán.

    Mikor tompaszögű egy háromszög? Ha a leghosszabb oldal négyzete nagyobb, mint a másik kettő négyzetének összege: c2 > a2 + b2. A 3 – 5 – 7 oldalú háromszögnél például 49 > 9 + 25, tehát tompaszögű, és a leghosszabb oldallal szemközti szög éppen 120°.

    ORγa = 3 cmb = 5 cmc = 7 cmABC
    A tompaszögű háromszög és köré írt köre: az O középpont a c oldal túloldalára, a háromszögön kívülre esik.

    A sugár kiszámítása tompaszög esetén

    Sokan azt hiszik, hogy tompaszögre külön képlet kell. Nem kell: a szinusztételből származó alak változatlanul érvényes, mert a szinusz 90° és 180° között is pozitív. Konkrétan sin 120° = sin 60° = 0,866.

    A tompaszöggel szemközti oldalbólR = c2 · sin γ
    Három oldalbólR = a · b · c4 · T
    A terület két oldalból és a közbezárt szögbőlT = a · b · sin γ2

    Kidolgozott példa · a = 3 cm, b = 5 cm, γ = 120°

    Mekkora a harmadik oldal és a köré írható kör sugara?

    1. A harmadik oldal koszinusztétellel (cos 120° = -0,5):c2 = 32 + 52 − 2 · 3 · 5 · (-0,5) = 9 + 25 + 15 = 49
    2. Vagyis:c = 7 cm
    3. A sugár a szinusztételből (sin 120° = 0,866):R = 72 · 0,866 = 71,732
    4. Elosztva:R = 4,04 cm
    5. Ellenőrzés a területtel: T = 3 · 5 · 0,8662 = 6,50 cm², ezértR = 3 · 5 · 74 · 6,50 = 10525,98 = 4,04 cm

    EredményR = 4,04 cm (pontosan 7 · √33 cm).

    Milyen messze van a középpont az oldaltól?

    A középpont távolsága egy oldaltól R · cos (a szemközti szög). Ha a szög tompaszög, ez a koszinusz negatív – ez matematikailag azt jelenti, hogy a középpont az oldal túlsó oldalán van.

    Kidolgozott példa · Ugyanaz a háromszög: R = 4,04 cm, γ = 120°

    Milyen messze esik a középpont a leghosszabb, c = 7 cm-es oldaltól?

    1. A távolság nagysága:d = R · |cos γ| = 4,04 · 0,5
    2. Vagyis:d = 2,02 cm

    EredményA középpont 2,02 cm-re van a c oldaltól, a C csúccsal ellentétes irányban – tehát a háromszögön kívül.

    A középpont helye a legnagyobb szög szerint
    A legnagyobb szögA középpont helyePélda
    Kisebb 90°-nálA háromszög belsejében5 – 5 – 6 oldalú háromszög
    Pontosan 90°Az átfogó felezőpontjában, az oldalon6 – 8 – 10 oldalú háromszög
    Nagyobb 90°-nálA háromszögön kívül, a leghosszabb oldal túloldalán3 – 5 – 7 oldalú háromszög

    A három esetet együtt, egy áttekintésben a háromszög köré írható kör oldal mutatja be; a derékszögű változat pedig külön is megvan a derékszögű háromszög köré írható kör sugara oldalon.

    Gyors önellenőrzés

    Egy háromszög oldalai 4, 6 és 9 egység. Hol lesz a köré írható kör középpontja?
    A háromszögön kívül, mert 92 = 81 > 42 + 62 = 52, tehát a háromszög tompaszögű.
    Változik-e a sugár képlete, ha a szög tompaszög?
    Nem. R = c2 · sin γ marad, hiszen a szinusz tompaszögre is pozitív. Csak a koszinuszra kell figyelni, az lesz negatív.
    A háromszög belsejébe esik-e valaha a tompaszögű háromszög köré írható körének középpontja?
    Soha. Tompaszög esetén a középpont mindig a leghosszabb oldal túloldalán, a háromszögön kívül van.

    Gyakori kérdések

    Hol van a tompaszögű háromszög köré írható körének középpontja?

    A háromszögön kívül, a tompaszöggel szemközti (leghosszabb) oldal túloldalán. A távolsága ettől az oldaltól R · |cos γ|.

    Van-e egyáltalán köré írható köre a tompaszögű háromszögnek?

    Igen, pontosan egy – ahogy minden háromszögnek. A három oldalfelező merőleges itt is egyetlen pontban metszi egymást, csak ez a pont a háromszögön kívülre kerül.

    Hogyan számolom ki a sugarát?

    Ugyanúgy, mint bármely háromszögnél: R = c2 · sin γ vagy R = a · b · c4 · T. Például a 3 – 5 – 7 cm-es háromszögnél R = 4,04 cm.

    Honnan tudom, hogy tompaszögű-e a háromszög?

    Ha a leghosszabb oldal négyzete nagyobb a másik kettő négyzetösszegénél: c2 > a2 + b2. A 3 – 5 – 7 esetén 49 > 34, tehát tompaszögű.

    A háromszög benne van-e a körben, ha a középpont kívül esik?

    Igen. A három csúcs mindig a körvonalon van, így a háromszög teljes egészében a körlapon belül marad – ezen a középpont helye nem változtat.

    Hova tovább?

    Köré írható körMinden háromszögnek pontosan egy köré írható köre van. Hol a középpontja, miért az oldalfelező m…Köré írható kör sugaraA háromszög köré írható kör sugara R = abc/(4T), vagy a szinusztételből R = a/(2·sin α). Szabály…Köré írható kör középpontjaA köré írható kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Hol van hegyes-, derék- …Derékszögű háromszög köré írt köreDerékszögű háromszögben a köré írható kör sugara az átfogó fele: R = c/2. Miért igaz ez a Thalés…Tompaszögű háromszögTompaszögű a háromszög, ha az egyik szöge 90°-nál nagyobb. Így ismered fel három oldalból, így s…Köré írható kör szerkesztéseKét oldalfelező merőleges körzős szerkesztése, és megvan a háromszög köré írható körének középpo…

    Írj be legalább két betűt. A nyilakkal léphetsz, Enterrel megnyitod.