Szögszámítás
Mennyi a háromszög külső szögeinek összege?
Három szám kavarog ennél a témánál: 180°, 360° és 540°. Itt kiderül, melyik mire vonatkozik, konkrét háromszögeken végigszámolva.
Röviden a válasz
A háromszög külső szögeinek összege 360°. Nem számít, hogy a háromszög hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű, sem az, hogy mekkora – az eredmény mindig ugyanaz.
Ne keverd össze a másik két számmal: a belső szögek összege 180°, a belső és külső szögek együtt pedig 540°.
Nézzük konkrét háromszögeken
A legjobb módja annak, hogy elhidd a 360°-ot, ha végigszámolsz néhány teljesen különböző háromszöget. Minden csúcsnál a külső szög a belső szög 180°-ra való kiegészítése, tehát csak kivonogatni kell.
| Belső szögek | Külső szögek | Külső szögek összege |
|---|---|---|
| 90°, 55°, 35° (derékszögű) | 90°, 125°, 145° | 360° |
| 70°, 60°, 50° (hegyesszögű) | 110°, 120°, 130° | 360° |
| 112°, 40°, 28° (tompaszögű) | 68°, 140°, 152° | 360° |
| 100°, 45°, 35° (tompaszögű) | 80°, 135°, 145° | 360° |
Az egyes külső szögek teljesen mások – 68°-tól 152°-ig szóródnak –, az összegük viszont mindig ugyanaz. Ez azért van, mert amennyivel az egyik belső szög nagyobb, ugyanannyival lesz a hozzá tartozó külső szög kisebb, és ez a három csúcson kiegyenlítődik.
Egy külső szög kiszámítása
A számoláshoz egyetlen képlet kell. Ha ismered a csúcsnál lévő belső szöget, a külső szög egy kivonás:
Kidolgozott példa · A háromszög két szöge 82° és 59°
Mekkorák a külső szögek, és mennyi az összegük?
- Előbb a hiányzó belső szög:γ = 180° − 82° − 59° = 39°
- A 82°-os csúcsnál:180° − 82° = 98°
- Az 59°-os csúcsnál:180° − 59° = 121°
- A 39°-os csúcsnál:180° − 39° = 141°
- Összeadva:98° + 121° + 141° = 360°
EredményA külső szögek 98°, 121° és 141°, összegük 360° – ahogy kell.
Mennyi a belső szögek összege?
A belső szögeké 180°, és ez az igazi kiindulópont: a 360°-ot is ebből kapjuk. A három csúcsnál összesen 3 · 180° = 540° van belső és külső szögből együtt; ha ebből levonod a belső szögek 180°-át, marad a külsőkre 360°.
| A kérdés | A válasz |
|---|---|
| Mennyi a háromszög belső szögeinek összege? | 180° |
| Mennyi a háromszög külső szögeinek összege? | 360° |
| Mennyi a belső és külső szögek összege? | 540° |
| Mennyi egy csúcsnál a belső és a külső szög összege? | 180° |
Ha az érdekel, miért pont 360° jön ki, a levezetést két különböző úton is végigvezetjük a háromszög külső szögeinek összege oldalon.
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög belső szögei 25°, 65° és 90°. Mennyi a külső szögeinek összege?
Egy háromszög két külső szöge 130° és 96°. Mekkora a harmadik külső szög?
Melyik nagyobb: a belső szögek összege vagy egyetlen külső szög?
Egy háromszög egyik külső szöge 90°. Mit tudsz a háromszögről?
Gyakori kérdések
Mennyi a háromszög külső szögeinek összege?
360°, csúcsonként egy külső szöget számolva. Ez minden háromszögre igaz, függetlenül az alakjától és a méretétől.
Mennyi a háromszög belső szögeinek összege?
180°. Ez a háromszögek alaptétele, és ebből következik a külső szögek 360°-a is.
Mennyi a háromszög külső és belső szögeinek összege?
540°. Három csúcs van, mindegyiknél a belső és a külső szög együtt 180°, tehát 3 · 180° = 540°.
Igaz-e a 360°, ha a háromszögnek tompaszöge van?
Igen. Például a 112°, 40°, 28° szögű háromszögben a külső szögek 68°, 140° és 152°, ami pontosan 360°. A tompaszöghöz tartozó külső szög lesz hegyesszög, de az összeg nem változik.
Miért nem 720° a külső szögek összege?
Mert minden csúcsnál csak egy külső szöget számolunk. Két oldalt is meghosszabbíthatsz, így csúcsonként két egyforma külső szög rajzolható, de a tétel csak az egyiket veszi figyelembe.