Szögszámítás
Háromszög külső szögeinek összege és a külsőszög-tétel
Két eszközöd van a külső szögekhez: a 360°-os összeg és a külsőszög-tétel. Ez az oldal arról szól, melyiket mikor érdemes elővenni egy feladatban.
Röviden a válasz
A háromszög három külső szögének összege 360°. Emellett érdemes ismerni a külsőszög-tételt is: egy külső szög mindig egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével.
A kettő együtt szinte minden szögszámítási feladatot megold: a 360° akkor jó, ha külső szögekből számolsz külső szöget, a külsőszög-tétel pedig akkor, ha belső és külső szögek keverednek.
A külsőszög-tétel
Ez a tétel sokkal többször menti meg a feladatot, mint maga a 360°. Azt mondja ki, hogy egy csúcsnál a külső szög pontosan akkora, mint a másik két csúcsnál lévő belső szög összege.
A bizonyítás két sor. Egyrészt γ + γ' = 180°, mert a belső és a külső szög egyenesszöget alkot. Másrészt α + β + γ = 180°, tehát α + β = 180° − γ. A jobb oldalak megegyeznek, így a bal oldalak is: γ' = α + β.
Feladat külsőszög-tétellel
A tipikus feladat úgy szól, hogy megadják az egyik külső szöget és egy belső szöget, és a maradékot kérdezik. Ilyenkor nem érdemes 360°-ból indulni, mert a külsőszög-tétel egy lépésben megadja a választ.
Kidolgozott példa · A C csúcsnál a külső szög 125°, és α = 57°
Mekkora a háromszög mindhárom belső szöge?
- A külsőszög-tétel szerint a C-nél lévő külső szög a másik két belső szög összege:γ' = α + β → 125° = 57° + β
- Innen a β szög:β = 125° − 57° = 68°
- A C csúcsnál a belső szög a külső kiegészítése:γ = 180° − 125° = 55°
- Ellenőrzés a szögösszeggel:57° + 68° + 55° = 180°
EredményA belső szögek α = 57°, β = 68° és γ = 55°.
Mikor jó a 360°-os összeg?
Akkor, ha a feladat csak külső szögekkel dolgozik: két külső szög adott, a harmadikat kérdezik, vagy a három külső szög arányát adják meg. Ilyenkor a 360° pontosan azt a szerepet játssza, amit a belső szögeknél a 180°.
Kidolgozott példa · Egyenlő szárú háromszög, szárszöge 36°
Mekkorák a külső szögei, és stimmel-e mindkét összefüggés?
- Az alapon fekvő két szög egyenlő, a szögösszegből:β = γ = 180° − 36°2 = 72°
- A szárszög csúcsánál a külső szög:α' = 180° − 36° = 144°
- Az alapon fekvő csúcsoknál:β' = γ' = 180° − 72° = 108°
- A külső szögek összege:144° + 108° + 108° = 360°
- Ellenőrzés a külsőszög-tétellel:β' = α + γ = 36° + 72° = 108°
EredményA külső szögek 144°, 108° és 108°; mindkét összefüggés pontosan kijön.
Melyik eszközt vedd elő?
| Amit megadnak | Amit használj | Miért |
|---|---|---|
| Két külső szög | A 360°-os összeg | Egy kivonással megvan a harmadik |
| Egy külső és egy belső szög | Külsőszög-tétel | Egy lépésben adja a hiányzó belső szöget |
| Csak belső szögek | A 180°-os szögösszeg | A külső szögek utána kivonással jönnek |
| A külső szögek aránya | A 360°-os összeg | Az arányösszeg 360°-ra osztható fel |
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög egyik külső szöge éppen kétszerese a mellette lévő belső szögnek. Mekkora ez a belső szög?
A külső szögek aránya 4 : 5 : 6. Mekkorák a belső szögek?
Egy háromszög egyik külső szöge 65°. Lehet-e a háromszög hegyesszögű?
Miért nagyobb a külső szög bármelyik nem mellette fekvő belső szögnél?
Gyakori kérdések
Mennyi a háromszög külső szögeinek összege?
360°, csúcsonként egy külső szöggel számolva. Ugyanez igaz minden konvex sokszögre is.
Mit mond ki a külsőszög-tétel?
Azt, hogy egy külső szög egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével: γ' = α + β. Ebből az is következik, hogy a külső szög mindkét távoli belső szögnél nagyobb.
Mennyi a háromszög külső és belső szögeinek összege?
540°, mert a három csúcs mindegyikénél a belső és a külső szög együtt egyenesszöget, vagyis 180°-ot ad.
Hogyan számolok belső szöget külső szögből?
Egyetlen kivonással: belső szög = 180° - külső szög. Ha viszont egy másik csúcs belső szögét keresed, a külsőszög-tétel gyorsabb.
Lehet-e mind a három külső szög tompaszög?
Igen, sőt hegyesszögű háromszögben mindig ez a helyzet: ha minden belső szög 90°-nál kisebb, akkor minden külső szög 90°-nál nagyobb. Például 80°, 60°, 40° esetén 100°, 120° és 140°.