A kör
A kör területe – képlet
Egy oldal, ahol csak a képlet van – az összes alakja, az átrendezései és az a néhány jelölésbeli csapda, ami miatt a helyes gondolatból rossz eredmény lesz.
Röviden a válasz
A kör területének képlete T = r2 · π. A sugarat emeled négyzetre, és azt szorzod π-vel – a π sosem kerül a négyzet alá.
Ugyanez más bemenettel: átmérőből T = d2 · π4, kerületből T = K24 · π. Visszafelé pedig r = √Tπ.
A képlet működés közben
Írd be bármelyik adatot – látni fogod, hogy a négy mennyiség hogyan függ össze.
Egyetlen adat elég: sugár, átmérő, kerület vagy terület – a többit kiszámoljuk.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- Kerület
- –
- Terület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az alapképlet
A képlet két dolgot mond ki. Egy: a terület a sugár négyzetével arányos, tehát a sugár kis változása nagyot lök a területen. Kettő: az arányossági tényező mindig ugyanaz a szám, a π ≈ 3,14159 – ez teszi lehetővé, hogy egyetlen képlet minden körre működjön.
A képlet összes alakja
| Amit keresel | Képlet | Megjegyzés |
|---|---|---|
| Terület sugárból | T = r2 · π | Az alapalak. |
| Terület átmérőből | T = d2 · π4 | Mert r = d2, és a felezés négyzetre emelve negyedelés. |
| Terület kerületből | T = K24 · π | A K = 2rπ képletből fejezed ki a sugarat. |
| Sugár területből | r = √Tπ | Osztás π-vel, majd gyökvonás. |
| Átmérő területből | d = 2 · √Tπ | A sugár kétszerese. |
| Kerület területből | K = 2 · √T · π | Terület és kerület közvetlen kapcsolata. |
Nem kell mind a hatot megjegyezni. Elég az első és az, hogy r = d2, meg hogy K = 2 · r · π – a többi ezekből két lépésben levezethető. Az átmérős alak részletes levezetése a kör területe átmérőből oldalon van.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Az alapalak: r = 8 cm
Számold ki a terület a képlet alapján, π ≈ 3,14 értékkel!
- A képlet:T = r2 · π
- Elsőként a négyzetre emelés:r2 = 82 = 64
- Csak ezután a szorzás:T = 64 · 3,14 = 200,96 cm2
EredményT = 200,96 cm²
Kidolgozott példa · Kerületből: K = 12,56 cm
A kerületes alakkal számolj területet!
- A képlet kerületből:T = K24 · π
- Behelyettesítve:T = 12,5624 · 3,14 = 157,753612,56
- Az osztás elvégezve:T = 12,56 cm2
- Ellenőrzés a hosszabb úton: r = K2π = 12,566,28 = 2 cm, innenT = 22 · 3,14 = 12,56 cm2
EredményT = 12,56 cm²
A mértékegység a képletben
A képlet nemcsak a számokkal, a mértékegységgel is „számol”. Ha a sugarat méterben helyettesíted be, akkor m · m = m2 jön ki, ha centiméterben, akkor cm². Ezért ugyanaz a kör kétféle számot ad attól függően, milyen egységben dolgozol – és a két szám között nem 100-as, hanem 10 000-es a váltószám.
Kidolgozott példa · Ugyanaz a kör kétféle egységben: r = 0,5 m = 50 cm
Számold ki a területet mindkét egységben, és váltsd át!
- Méterben:T = 0,52 · 3,14 = 0,25 · 3,14 = 0,785 m2
- Centiméterben:T = 502 · 3,14 = 2500 · 3,14 = 7850 cm2
- A két eredmény ugyanaz, mert:0,785 · 10000 = 7850
EredményT = 0,785 m² = 7850 cm²
A képlet mögötti gondolatmenetet – hogy miért éppen r2 · π – a kör területe oldalon vezetjük le, a π-ről pedig a pi szám oldalon írunk bővebben.
Gyors önellenőrzés
Melyik a kör területének képlete: 2 · r · π vagy r2 · π?
Fejezd ki a sugarat a területképletből!
Miért osztunk 4-gyel az átmérős alakban?
Gyakori kérdések
Mi a kör területe képlet?
T = r2 · π, ahol r a sugár. Előbb négyzetre emelsz, csak utána szorzol π-vel. Iskolai feladatokban a π értéke általában 3,14.
Mi a képlet, ha az átmérőt ismerem?
T = d2 · π4. Ez ugyanaz, mintha elfeleznéd az átmérőt, és a kapott sugárral számolnál az alapképlettel.
Hogyan fejezem ki a sugarat a területképletből?
r = √Tπ. Osztasz π-vel, majd négyzetgyököt vonsz. Az átmérő ennek a kétszerese: d = 2 · √Tπ.
Mi a különbség a 2rπ és az r2 π képlet között?
A 2 · r · π a kerület, tehát a körvonal hossza, hosszúságegységben. Az r2 · π a terület, tehát a körlap nagysága, négyzetes egységben.
A π-t is négyzetre kell emelni a képletben?
Nem. A kitevő csak az r-re vonatkozik: T = r · r · π. A (rπ)2 alak hibás, és jóval nagyobb eredményt ad.