A kör
A kör kerülete – képlet
Egyetlen képlet öt arca. Itt nemcsak a K = 2rπ alakot kapod meg, hanem azt is, hogyan rendezd át, ha épp a sugarat, az átmérőt vagy a területet kell kihoznod belőle.
Röviden a válasz
A kör kerületének képlete K = 2 · r · π, ahol r a sugár. Ha az átmérő ismert, ugyanez rövidebben K = d · π, mert d = 2r.
A képlet mindkét alakja átrendezhető: r = K2 · π, d = Kπ, területből pedig K = 2 · √T · π. A π-t iskolai feladatban 3,14-gyel számold.
A képlet működés közben
Írd be a sugarat – vagy bármelyik másik adatot –, és nézd meg, melyik képletsor melyik értéket adja.
Egyetlen adat elég: sugár, átmérő, kerület vagy terület – a többit kiszámoljuk.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- Kerület
- –
- Terület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet két alapalakja
Ez a két sor ugyanaz a képlet. Mivel az átmérő a sugár kétszerese (d = 2r), a 2 · r helyére bármikor beírhatod, hogy d. Nem kell választanod közülük: azt használd, amelyik adat a feladatban szerepel.
Honnan jön a képletben a π?
A π nem varázsszám, hanem egy mért arány: minden körnél ugyanannyiszor fér rá az átmérő a körvonalra. Ha egy henger köré zsinórt tekersz, majd megméred a zsinórt és az átmérőt, a hányadosuk mindig 3,14 körüli szám lesz – akkor is, ha az edény bögre, és akkor is, ha egy szemetes.
Ezt az arányt nevezzük π-nek: π = Kd. A kerületképlet ennek az egyenletnek az átrendezése, semmi több. Ezért nincs benne négyzetre emelés – a kerület a sugárral egyenesen arányos. A π értékéről és jegyeiről a pi szám oldalon olvashatsz.
A képlet minden átrendezett alakja
| Ismert adat | Képlet | Példa |
|---|---|---|
| r sugár | K = 2 · r · π | r = 4 cm → K = 25,12 cm |
| d átmérő | K = d · π | d = 8 cm → K = 25,12 cm |
| K kerület → sugár | r = K2 · π | K = 18,84 cm → r = 3 cm |
| K kerület → átmérő | d = Kπ | K = 18,84 cm → d = 6 cm |
| T terület | K = 2 · √T · π | T = 452,16 cm² → K = 75,36 cm |
Az utolsó sor ritkábban kerül elő, de érdemes ismerni: a T = r2 · π képletből r = √Tπ, ezt beírva a kerületképletbe kapod az egylépéses alakot. A részletes utat a kör sugarának kiszámítása oldalon nézheted meg.
A képlet használata három feladattípuson
Kidolgozott példa · Alapeset: r = 4 cm
Mekkora a 4 cm sugarú kör kerülete? π ≈ 3,14.
- Írd fel a sugaras alakot:K = 2 · r · π
- Helyettesíts be, és először a 2-vel szorozz:K = 2 · 4 · 3,14 = 8 · 3,14
- Az eredmény:K = 25,12 cm
EredményK = 25,12 cm
Kidolgozott példa · Visszafelé: K = 18,84 cm
Egy kör kerülete 18,84 cm. Mekkora az átmérője és a sugara?
- A K = d · π alakot rendezd át d-re:d = Kπ = 18,843,14
- Az osztás elvégezve:d = 6 cm
- A sugár az átmérő fele:r = 62 = 3 cm
Eredményd = 6 cm, r = 3 cm
Kidolgozott példa · Területből: T = 452,16 cm²
Egy körlap területe 452,16 cm². Mekkora a kerülete?
- Előbb a sugár a területképletből:r2 = Tπ = 452,163,14 = 144
- Négyzetgyököt vonva:r = √144 = 12 cm
- Most már jöhet a kerületképlet:K = 2 · 12 · 3,14 = 75,36 cm
EredményK = 75,36 cm
Mit érdemes megjegyezni?
- A képletben a sugár első hatványon áll – ezért dupla sugár dupla kerületet ad.
- A 2π ≈ 6,28 szorzót érdemes fejben tartani: sugárból egy szorzás az egész.
- A π-t hagyhatod a végeredményben is: a 8π cm pontosabb válasz, mint a 25,12 cm.
- A kalkulátor a pontos π-vel (3,1416) számol, ezért a második tizedesben eltérhet a 3,14-es kézi eredménytől.
Gyors önellenőrzés
Egy kör kerülete 6,28 cm. Mekkora a sugara?
Hányszorosára nő a kerület, ha a sugarat megháromszorozod?
Melyik alakot használd, ha az átmérőt ismered?
Gyakori kérdések
Mi a kör kerülete képlet?
Sugárból K = 2 · r · π, átmérőből K = d · π. A kettő ugyanaz, mert d = 2r. Például r = 4 cm esetén K = 2 · 4 · 3,14 = 25,12 cm.
Miért van a képletben 2-es szorzó?
Mert a π az átmérőhöz tartozik, nem a sugárhoz: π = Kd. Ha sugárral dolgozol, előbb átmérővé kell alakítanod, és ez a kétszerezés marad benne a képletben.
Hogyan rendezem át a kerületképletet a sugárra?
Oszd el mindkét oldalt 2π-vel: r = K2 · π. Számmal ez r = K6,28. Például K = 18,84 cm esetén r = 3 cm.
Van kerületképlet a területből?
Van: K = 2 · √T · π. Ez a T = r2 · π és a K = 2 · r · π képletek összefűzése. Ha T = 452,16 cm², akkor K = 75,36 cm.
Mennyivel számoljam a π-t a képletben?
Iskolai feladatban 3,14-gyel, ha a feladat mást nem kér; pontosabb munkához 3,1416-tal. Mindig írd oda a megoldásba, melyik értékkel számoltál, mert a kerekítés befolyásolja az utolsó tizedeseket.
Mi a különbség a kerület- és a területképlet között?
A kerületben a sugár első hatványon áll (K = 2 · r · π), a területben négyzeten (T = r2 · π). Ezért a kerület hosszúságegységben, a terület négyzetes egységben jön ki.