A kör
A pi szám (π)
A π nem közelítő érték, hanem egy pontos szám – csak éppen olyan, amit tizedes törtként soha nem lehet a végéig leírni. Itt megnézzük, mennyi valójában, és hogy a feladatokban melyik kerekítéssel érdemes dolgozni.
Röviden a válasz
A pi értéke π = 3,14159265358979… – végtelen, nem szakaszos tizedes tört. Iskolai feladatban 3,14-gyel számolsz, pontosabb munkához 3,1416-tal, számológépen pedig a π gombbal.
A π nem véletlenszerű szám: minden kör kerületének és átmérőjének a hányadosa, a fülbevaló karikájánál és a Hold pályájánál is ugyanannyi. Ebből következik a kör kerületének képlete: K = d · π.
π munka közben
Írd be a sugarat vagy az átmérőt – a kerület és a terület is π-vel számolva jelenik meg.
Egyetlen adat elég: sugár, átmérő, kerület vagy terület – a többit kiszámoljuk.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- Kerület
- –
- Terület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mennyi a pi értéke pontosan?
A π első huszonöt tizedesjegye: 3,1415926535897932384626433… A sor sosem ér véget, és soha nem is kezd ismétlődni. Ezért nem lehet „a” pontos értékét leírni tizedes törtként – a pontos érték maga a π jel, a 3,14 már kerekítés.
Melyik közelítéssel számolj?
Attól függ, mennyire pontos választ vár a feladat. A 3,14 két tizedesjegyig helyes, és az iskolai feladatok 95 százalékában bőven elég. A 3,1416 négy tizedesjegyig jó – ezt akkor vedd elő, ha a végeredményt is több tizedesjegyre kérik.
| Közelítés | Értéke | Mekkorát tévedsz vele |
|---|---|---|
| 3 | 3 | kb. 4,5% hiba – csak fejben becsléshez. |
| 3,14 | 3,14 | 0,0016-tal kisebb a valódinál, kb. 0,05% hiba. |
| 22/7 (Arkhimédész) | ≈ 3,142857 | 0,0013-tal nagyobb, kb. 0,04% hiba. |
| 3,1416 | 3,1416 | négy tizedesjegyig helyes, az eltérés 0,0000073. |
| 355/113 | ≈ 3,14159292 | hat tizedesjegyig pontos – törtként meglepően jó. |
A gyakorlatban ennél több tizedesjegyre szinte soha nincs szükség: néhány tucat jegy már atomi pontossággal adná meg egy csillagászati méretű kör kerületét. A sok millió jegy kiszámítása inkább a számítógépek tesztelésének a terepe.
Mennyit számít a kerekítés? – kidolgozott példa
Kidolgozott példa · r = 6 cm sugarú kör, háromféle π-vel
Mekkora a 6 cm sugarú kör területe, ha 3-mal, 3,14-dal, illetve 3,1416-tal számolunk? A képlet mindhárom esetben T = r2 · π.
- A sugár négyzete minden esetben ugyanaz:r2 = 62 = 36 cm2
- Durva becslés π ≈ 3-mal:T = 36 · 3 = 108 cm2
- Iskolai számolás π ≈ 3,14-dal:T = 36 · 3,14 = 113,04 cm2
- Pontosabban, π ≈ 3,1416-tal:T = 36 · 3,1416 = 113,0976 cm2
EredményA 3,14 és a 3,1416 között mindössze 0,06 cm² a különbség – kevesebb, mint egy ceruzavonás.
Ugyanennek a körnek a kerülete K = 2 · 6 · 3,14 = 37,68 cm, pontosabb π-vel 37,6992 cm. Látszik a szabály: minél nagyobb a kör, annál nagyobb abszolút hibát okoz a durvább kerekítés, mert a π-t egyre nagyobb számmal szorozzuk.
Miért nem lehet a π-t törtként felírni?
A π irracionális szám: nem írható fel két egész szám hányadosaként. Ezt 1761-ben bizonyították be, és ebből következik, hogy a tizedes tört alakja végtelen és nem szakaszos – a 22/7 és a 355/113 tehát csak ügyes közelítés, nem a pontos érték.
Ennél is több igaz rá: a π transzcendens, vagyis nem gyöke semmilyen egész együtthatós algebrai egyenletnek – például egyetlen másodfokú egyenletnek sem. Ezt 1882-ben látták be, és ezzel egy több mint kétezer éves kérdés dőlt el: a kör négyszögesítése körzővel és vonalzóval lehetetlen. Nem lehet olyan négyzetet szerkeszteni, amelynek pontosan akkora a területe, mint egy adott köré.
Hol bukkan fel a π a képletekben?
Mindenhol, ahol kör vagy gömb van a feladatban. Érdemes egyben látni őket, mert a π mindig ugyanazt a szerepet játssza: a görbe vonalat köti össze az egyenessel.
| Amit számolsz | Képlet | Oldal |
|---|---|---|
| Kör kerülete | K = 2 · r · π = d · π | kör kerülete |
| Kör területe | T = r2 · π | kör területe |
| Körív hossza | i = α360° · 2 · r · π | körív hossza |
| Körcikk területe | T = α360° · r2 · π | körcikk területe |
| Henger térfogata | V = r2 · π · m | henger térfogata |
| Gömb térfogata | V = 43 · r3 · π | gömb térfogata |
A π mint szögmérték: a radián
A π nemcsak hosszúságokban jelenik meg, hanem a szögek mérésében is. Az egész kör kerülete a sugár 2π-szerese, ezért ívmértékben a teljes szög 2π radián, a félkör pedig π radián – vagyis 180° = π. Innen a szokásos átváltás: 1° = π180 radián. A részleteket a radián–fok átváltás oldalon találod.
Gyors önellenőrzés
Egy kör kerülete 37,68 cm, az átmérője 12 cm. Mit kapsz, ha elosztod őket?
Melyik van közelebb a valódi π-hez: a 3,14 vagy a 22/7?
Ki lehet-e számolni a π utolsó tizedesjegyét?
Gyakori kérdések
Mennyi a pi értéke?
A π ≈ 3,14159265358979, és a tizedesjegyek sora végtelen. Iskolai feladatban 3,14-gyel, pontosabb számoláshoz 3,1416-tal érdemes dolgozni – a számológép π gombja jellemzően 10–15 jegyre pontos értéket használ.
Mi az a pi szám valójában?
Minden kör kerületének és átmérőjének a hányadosa: π = Kd. Ez az arány minden körnél ugyanaz, a méretüktől függetlenül – ezért lehet belőle egyetlen állandót csinálni.
Miért 3,14-gyel számolunk az iskolában?
Mert két tizedesjegy mellett az eltérés nagyjából 0,05%, ami egy tankönyvi kör esetén tized milliméteres nagyságrend. Ha a feladat többet vár, kiírja: „π ≈ 3,1416" vagy „számológéppel".
Mennyi a pi tört alakban?
Pontos tört alakja nincs, mert a π irracionális szám. A leggyakoribb közelítő törtek a 22/7 (≈ 3,142857) és a 355/113 (≈ 3,14159292) – utóbbi már hat tizedesjegyig helyes.
Véges a pi tizedes tört alakja?
Nem. Végtelen és nem szakaszos: soha nem szakad meg, és soha nem kezd ismétlődni egy jegycsoport. Ha véges vagy szakaszos lenne, a π felírható volna törtként, ami bizonyítottan lehetetlen.
Hány tizedesjegyet érdemes megjegyezni?
A 3,14159 minden iskolai feladathoz elég. Aki többet szeretne, annak a 3,14159265358979 a szokásos „tizennégy jegyes" határ – ennél tovább már csak versenyzésképp szokás menni.