A kör
A kör területe átmérőből
A hétköznapi életben szinte mindig átmérőt mérünk – pizzát, csövet, medencét, fatörzset. Ez az oldal arról szól, hogyan jutsz ebből egy lépésben területhez, felezés nélkül is.
Röviden a válasz
Átmérőből a kör területe T = d2 · π4. Ha d = 30 cm, akkor T = 900 · 3,144 = 706,5 cm² (π ≈ 3,14).
Ugyanide jutsz úgy is, hogy előbb elfelezed az átmérőt, és a kapott sugárral az alapképlettel számolsz. A 4-es osztó pontosan azért jelenik meg, mert a felezés a négyzetre emelés után negyedeléssé válik.
Terület átmérőből
Írd be az átmérőt a d mezőbe – a terület, a sugár és a kerület is megjelenik.
Egyetlen adat elég: sugár, átmérő, kerület vagy terület – a többit kiszámoljuk.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- Kerület
- –
- Terület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet és a levezetése
Az alapképlet a sugárral dolgozik: T = r2 · π. Mivel r = d2, ezt behelyettesítve T = (d2)2 · π = d24 · π adódik. A négyzetre emelés a nevezőt is négyzetre emeli, ezért lesz a 2-ből 4 – ez a képlet legfontosabb momentuma.
Két út, ugyanaz az eredmény
| Lépés | Felezős út | Egylépéses képlet |
|---|---|---|
| 1. | r = 302 = 15 cm | d2 = 302 = 900 |
| 2. | T = 152 · 3,14 | T = 900 · 3,144 |
| 3. | T = 225 · 3,14 | T = 28264 |
| Eredmény | 706,5 cm² | 706,5 cm² |
Fejben a felezős út a biztonságosabb, számológéppel az egylépéses gyorsabb. Dolgozatban írd ki a felezést külön sorba – így a javító látja, hogy tudod, a képletbe sugár kell.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Pizza: d = 30 cm
Mekkora egy 30 cm átmérőjű pizza felülete? π ≈ 3,14.
- Az átmérős képlet:T = d2 · π4
- Behelyettesítve:T = 302 · 3,144 = 900 · 3,144
- A szorzás és az osztás:T = 28264 = 706,5 cm2
EredményT = 706,5 cm²
Kidolgozott példa · Kerek medence: d = 6 m
Mekkora a vízfelület területe, és mekkora ponyva takarja le?
- A sugár az átmérő fele:r = 62 = 3 m
- A terület:T = 32 · 3,14 = 9 · 3,14
- Az eredmény:T = 28,26 m2
EredményT = 28,26 m²
Kidolgozott példa · Mi történik, ha duplázódik az átmérő? d = 14 cm és d = 28 cm
Hasonlítsd össze a két kör területét!
- A kisebb kör:T1 = 142 · 3,144 = 615,444 = 153,86 cm2
- A nagyobb kör:T2 = 282 · 3,144 = 2461,764 = 615,44 cm2
- A hányadosuk:615,44153,86 = 4
EredményDupla átmérő – négyszeres terület
Ezért éri meg a nagyobb pizza: az ár nem négyszereződik, a felület viszont igen. Ugyanez a négyzetes növekedés magyarázza, miért sokkal nagyobb a vastagabb cső áteresztőképessége is – ott a keresztmetszet a henger térfogatának alapköre.
Amikor az átmérő rejtve van
- A négyzetbe írt kör átmérője pont a négyzet oldala.
- Thalész-tétel miatt a derékszögű háromszög átfogója a köré írt kör átmérője – lásd a derékszögű háromszög köré írható kör sugara oldalt.
- Egy körgyűrűnél a külső és a belső átmérő különbségének a fele adja a gyűrű szélességét.
- Csöveknél a katalógusokban szereplő méret szinte mindig átmérő, nem sugár.
Gyors önellenőrzés
Egy kör átmérője 22 cm. Mekkora a területe?
Miért osztunk néggyel az átmérős képletben?
Egy fatörzs átmérője 36 cm. Nagyobb-e a keresztmetszete 1000 cm²-nél?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a kör területét átmérőből?
Használd a T = d2 · π4 képletet, vagy felezd el az átmérőt, és a sugárral számolj: T = r2 · π. Például d = 30 cm esetén T = 706,5 cm².
Miért van 4-es osztó a képletben?
Mert a sugár az átmérő fele, és a négyzetre emeléskor a 2-es nevező is négyzetre emelődik: (d2)2 = d24.
Mekkora hibát okoz, ha az átmérőt írom a sugár helyére?
Pontosan négyszeres eredményt kapsz. Ez a leggyakoribb hiba a témában, és mindig felfelé téved.
Hogyan kapom meg az átmérőt, ha a terület adott?
Rendezd át a képletet: d = 2 · √Tπ. Például T = 28,26 m² esetén d = 2 · √9 = 6 m.
Hányszor nagyobb egy dupla átmérőjű kör területe?
Négyszer, mert a terület az átmérő négyzetével arányos. A 28 cm-es kör területe pontosan négyszerese a 14 cm-esének.