Pitagorasz-tétel
A Pitagorasz-tétel alkalmazása
A tétel akkor válik igazán hasznossá, amikor nincs is a feladatban háromszög: koordináta-rendszerben, testek belsejében és körökben is ez adja a hiányzó hosszat.
Röviden a válasz
A Pitagorasz-tételt mindenhol használhatod, ahol két merőleges szakasz találkozik. Ebből jön két pont távolsága a koordináta-rendszerben (d = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2), a testek lap- és testátlója, a körhúr hossza, valamint a síkidomok magasságai.
A trükk mindig ugyanaz: keresd meg vagy hozd létre a derékszögű háromszöget. Térbeli feladatnál ez sokszor két lépés – először egy lapon számolsz, aztán a kapott átlóval mész tovább.
Számold ki a hiányzó oldalt
Két merőleges szakasz hossza elég – az eredmény a köztük lévő ferde távolság.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
1. Két pont távolsága a koordináta-rendszerben
A Pitagorasz-tétel itt nem is látszik elsőre: a koordináta-rendszerben minden pontpárhoz tartozik egy „lépcső": egy vízszintes és egy függőleges elmozdulás. Ez a kettő merőleges egymásra, tehát a két pontot összekötő szakasz a derékszögű háromszög átfogója.
Kidolgozott példa · P(2; 1) és Q(7; 13)
Milyen messze van egymástól a két pont?
- Vízszintes eltérés:Δx = 7 − 2 = 5
- Függőleges eltérés:Δy = 13 − 1 = 12
- A távolság az átfogó:d = √52 + 122 = √25 + 144 = √169
- Vagyis:d = 13 egység
Eredményd = 13 egység.
2. Testátló: amikor kétszer kell alkalmazni
A téglatest testátlója a test két szemközti csúcsát köti össze. Nem lehet egy lépésben kiszámolni, mert nincs olyan derékszögű háromszög, amelynek mindhárom él a befogója lenne. Ezért kétlépcsős a megoldás: előbb az alaplap átlója, aztán a testátló.
Kidolgozott példa · Téglatest: 2 cm × 3 cm × 6 cm
Mekkora a testátlója?
- Először az alaplap átlója (a 2 és a 3 cm-es élből):e2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13
- Ezt ne vond ki gyök alól, hanem vidd tovább négyzetesen. A testátló a lapátló és a magasság átfogója:D2 = e2 + 62 = 13 + 36 = 49
- Most jön a gyökvonás:D = √49 = 7 cm
EredményA testátló 7 cm. Általánosan: D = √a2 + b2 + c2.
Kidolgozott példa · Kocka, a = 5 cm
Mekkora a lapátlója és a testátlója?
- A lapátló egy négyzet átlója:e = √52 + 52 = √50 = 5 · √2 = 7,07 cm
- A testátló ehhez veszi hozzá a harmadik élt:D2 = 50 + 52 = 50 + 25 = 75
- Gyököt vonva:D = √75 = 5 · √3 = 8,66 cm
EredményA lapátló 5 · √2 = 7,07 cm, a testátló 5 · √3 = 8,66 cm.
3. Körhúr hossza a sugárból
A kör középpontjából a húrra bocsátott merőleges felezi a húrt. Így a sugár, a középponttól mért távolság és a fél húr derékszögű háromszöget alkot – ebből bármelyik kettőből megvan a harmadik.
Kidolgozott példa · Kör sugara 10 cm, a húr 6 cm-re van a középponttól
Milyen hosszú a húr?
- A sugár az átfogó, a 6 cm az egyik befogó, a fél húr a másik:f2 = 102 − 62 = 100 − 36 = 64
- A fél húr:f = √64 = 8 cm
- A teljes húr ennek a kétszerese:h = 2 · 8 = 16 cm
EredményA húr 16 cm hosszú.
Hol keletkezik még derékszög?
| Alakzat | A derékszögű háromszög | Mit ad meg |
|---|---|---|
| Négyzet | két szomszédos oldal | az átló: e = a · √2 |
| Rombusz | a félátlók | az oldal hossza |
| Egyenlő szárú trapéz | a magasság és a kilógó darab | a szár hossza |
| Szabályos hatszög | a sugár és a fél oldal | a beírt kör sugara |
| Kúp | a sugár és a magasság | az alkotó: s = √r2 + m2 |
| Gúla | az alaplap fél átlója és a magasság | az oldalél hossza |
Ugyanez a gondolat áll a háromszög átlóinak és oldalainak számítása mögött is: a bonyolultabb alakzatot addig bontod, amíg derékszögű háromszöget nem kapsz.
Gyors önellenőrzés
Mekkora a 3 cm élű kocka testátlója?
Egy 13 cm sugarú körben a húr 24 cm hosszú. Milyen messze van a középponttól?
Egy kúp sugara 6 cm, magassága 10 cm. Mekkora az alkotója?
Gyakori kérdések
Mire használható a Pitagorasz-tétel a hétköznapokban?
Minden olyan helyzetben, ahol merőleges távolságok találkoznak: létra dőlésszöge, telek átlója, tévéképernyő átlómérete, derékszög kijelölése építkezésen, két pont légvonalbeli távolsága térképen.
Hogyan számolok testátlót a Pitagorasz-tétellel?
Két lépésben. Először az alaplap átlóját számolod ki két élből, majd ezt az átlót és a harmadik élt tekinted befogónak. Összevonva: D = √a2 + b2 + c2.
Miért a Pitagorasz-tétel a két pont távolságának képlete?
Mert a két pont közti vízszintes és függőleges eltérés merőleges egymásra, és a keresett távolság az általuk meghatározott derékszögű háromszög átfogója.
Hogyan kapom meg a körhúr hosszát?
A középponttól a húrig húzott merőleges felezi a húrt. A sugár az átfogó, a középponttól mért távolság az egyik befogó, a fél húr a másik – az eredményt a végén kétszerezd.
Használható a tétel térbeli feladatokban is?
Igen, méghozzá gyakran többször egymás után. Testeknél előbb egy lapon belül számolsz, majd a kapott szakasszal lépsz ki a térbe – így jön ki a testátló, a gúla oldaléle vagy a kúp alkotója.