Négyszögek
A paralelogramma területe
Alap szorozva magassággal – és nem oldal szorozva oldallal. Ez a különbség viszi el a pontok felét, ezért itt végig azt is nézzük, honnan kerül elő a magasság, ha nem adják meg.
Röviden a válasz
A paralelogramma területe az alap és a hozzá tartozó magasság szorzata: T = a · m. Ha az alap 9 cm, a magasság 5 cm, akkor T = 9 · 5 = 45 cm².
A magasság a két párhuzamos oldal közötti merőleges távolság, nem a ferde oldal hossza. Ha a két oldalt és a közbezárt szöget ismered, a képlet T = a · b · sin α.
Paralelogramma-kalkulátor
Alap és magasság, vagy két oldal és a közbezárt szög – bármelyik két adatból számol területet és kerületet.
Alap és a hozzá tartozó magasság – vagy két oldal és a közbezárt szög.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- m magasság
- –
- Szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A paralelogramma területének képlete
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek mindkét oldalpárja párhuzamos. Ebből következik, hogy a szemközti oldalak és a szemközti szögek is egyenlők, az átlók pedig felezik egymást. A területéhez viszont egyetlen oldal és egyetlen magasság elég.
Miért éppen alap szorozva magassággal?
Vágd le a paralelogramma egyik végéről a magasság mentén keletkező derékszögű háromszöget, és told át a másik végére. Amit kapsz, az egy téglalap, ugyanazzal az alappal és ugyanazzal a magassággal.
- A levágott háromszög és a beillesztett háromszög egybevágó, tehát a terület nem változott.
- Az így kapott téglalap oldalai a és m.
- A téglalap területe a · m – lásd a téglalap területe oldalt –, tehát a paralelogrammáé is ennyi.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · a = 9 cm, m = 5 cm
Mekkora a paralelogramma területe?
- A területképletbe az alap és a hozzá tartozó magasság kerül:T = a · m = 9 · 5
- Az eredmény:T = 45 cm2
EredményT = 45 cm²
Kidolgozott példa · Két oldalból és szögből: a = 10 cm, b = 8 cm, α = 30°
Mekkora a paralelogramma területe, ha a két oldala 10 cm és 8 cm, a közbezárt szöge pedig 30°?
- Előbb a magasság a b oldalból és a szögből, a szinusz definíciója szerint:m = b · sin α = 8 · sin 30° = 8 · 0,5 = 4 cm
- Most jöhet a szokásos képlet:T = a · m = 10 · 4 = 40 cm2
- Egy lépésben ugyanez:T = a · b · sin α = 10 · 8 · 0,5 = 40 cm2
EredményT = 40 cm²
Kidolgozott példa · Visszafelé: T = 126 cm², a = 14 cm
Egy paralelogramma területe 126 cm², az egyik oldala 14 cm. Mekkora az ehhez az oldalhoz tartozó magasság?
- Rendezd át a képletet a magasságra:m = Ta = 12614
- Az eredmény:m = 9 cm
Eredménym = 9 cm
Terület két oldalból és a közbezárt szögből
Ez ugyanaz a gondolat, mint a háromszögnél a T = a · b · sin γ2 képlet, csak itt nincs kettes osztó – a paralelogramma pont két ilyen háromszögből áll. A szögfüggvényes területszámítás részleteit a háromszög területe szinusszal oldalon írjuk le.
A paralelogramma rokonai
| Alakzat | Amiben speciális | Terület |
|---|---|---|
| Paralelogramma | Mindkét oldalpár párhuzamos. | T = a · m = a · b · sin α |
| Téglalap | Minden szöge derékszög, így m = b. | T = a · b |
| Rombusz | Mind a négy oldala egyenlő, az átlói merőlegesek. | T = a · m = e · f2 |
| Négyzet | Egyenlő oldalak és derékszögek együtt. | T = a2 |
A rombusz területe tehát kétféleképpen is számolható: paralelogrammaként (a · m), vagy az átlókból (e · f2). A négyzetnél pedig a magasság egybeesik az oldallal, ezért marad az a2.
Kerület és átlók
Az átlótétel akkor jön jól, ha az egyik átlót ismered és a másikat keresed. Az átlók felezik egymást, de – a téglalappal ellentétben – általában nem egyenlő hosszúak, és nem is merőlegesek. Merőlegessé csak rombusznál válnak, egyenlővé csak téglalapnál.
Gyors önellenőrzés
Egy paralelogramma alapja 13 cm, a hozzá tartozó magassága 4 cm. Mekkora a területe?
A paralelogramma oldalai 7 cm és 5 cm. Lehet-e a területe 35 cm²?
Egy paralelogramma területe 60 cm², az egyik oldala 15 cm, a másik 10 cm. Mekkora a két magassága?
Miért nem kell tudni, melyik szöget adták meg, ha szinusszal számolsz?
Gyakori kérdések
Mi a paralelogramma területének képlete?
T = a · m, vagyis az alap szorozva a hozzá tartozó magassággal. A magasság a két párhuzamos oldal merőleges távolsága, nem a ferde oldal hossza.
Miért nem a két oldalt szorozzuk össze?
Mert a paralelogramma egy megdöntött téglalap. A döntéssel az oldalak hossza nem változik, a terület viszont csökken. Az a · b szorzat ezért mindig nagyobb a valós területnél – pontosan a · b · sin α a helyes érték.
Hogyan számolom ki a területet, ha a magasságot nem adják meg?
Ha ismered a másik oldalt és a közbezárt szöget, használd a T = a · b · sin α képletet. Például a = 10 cm, b = 8 cm, α = 30° esetén T = 10 · 8 · 0,5 = 40 cm².
Hány magassága van a paralelogrammának?
Kettő, oldalpáronként egy. A terület mindkettővel kiszámolható, és igaz rájuk, hogy a · ma = b · mb. A hosszabb oldalhoz mindig a rövidebb magasság tartozik.
Hogyan kapom meg a magasságot a területből?
Oszd el a területet azzal az oldallal, amelyikhez a magasság tartozik: m = Ta. Ha T = 126 cm² és a = 14 cm, akkor m = 9 cm.
A rombusz és a téglalap is paralelogramma?
Igen, mindkettő speciális paralelogramma. A téglalapnál minden szög derékszög, ezért a magasság egybeesik a másik oldallal. A rombusznál mind a négy oldal egyenlő, és a területe az átlókból is számolható: T = e · f2.