Oldalak kiszámítása
Befogó és átfogó a háromszögben
Ez az oldal nem képletgyűjtemény, hanem eligazodás: hogyan ismered fel biztosan, melyik oldal a befogó és melyik az átfogó, és milyen tételek kötik össze őket.
Röviden a válasz
A befogók azok az oldalak, amelyek közrefogják a derékszöget – ezért is hívják őket így. Az átfogó a derékszöggel szemközti oldal, és mindig ez a háromszög leghosszabb oldala. A szokásos jelöléssel, ha a derékszög a C csúcsnál van, akkor a és b a befogó, c pedig az átfogó.
A kettő között a Pitagorasz-tétel teremt kapcsolatot: a2 + b2 = c2. Fontos, hogy befogóról és átfogóról csak derékszögű háromszögben beszélünk – általános háromszögnek nincs átfogója.
Befogó–átfogó kalkulátor
Adj meg két befogót, vagy egy befogót és az átfogót – a hiányzó oldalt, a szögeket és a területet is kiszámoljuk.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik a befogó, melyik az átfogó?
- Befogó: a derékszöget közrefogó két oldal. Mindkettő rövidebb az átfogónál, és egymásra merőlegesek.
- Átfogó: a derékszöggel szemközti oldal. Ez a leghosszabb oldal, mert a legnagyobb szöggel áll szemben.
| Tulajdonság | Befogó | Átfogó |
|---|---|---|
| Hol van? | A derékszög két szára | A derékszöggel szemközt |
| Hány van belőle? | Kettő (a és b) | Egy (c) |
| Hossz | Rövidebb az átfogónál | A leghosszabb oldal |
| Szerepe a területben | A kettő szorzatának fele a terület | Hozzá tartozik a magasság |
| Szerepe a körben | Húrok | A köré írt kör átmérője |
Átváltás egyikről a másikra
A Pitagorasz-tétel mindkét irányban használható. Ha az átfogót keresed, összeadsz; ha az egyik befogót, kivonsz. Ez az egyetlen különbség, de sokan pont itt tévesztenek.
Kidolgozott példa · Befogók: 8 cm és 15 cm
Mekkora az átfogó, és mennyi a terület?
- Az átfogóhoz a befogók négyzetét adjuk össze:c2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289
- Gyököt vonva:c = 17 cm
- A terület a két befogóból, mert azok merőlegesek egymásra:T = 8 · 152 = 60 cm2
- Visszafelé ellenőrizzük: ha az átfogó és a 15 cm-es befogó adott,a = √172 − 152 = √289 − 225 = √64 = 8 cm
Eredményc = 17 cm, T = 60 cm². A visszafelé számolás visszaadta a 8 cm-es befogót.
A befogók a magasságok is egyben
Derékszögű háromszögben a két befogó merőleges egymásra, ezért mindegyik egyben a másikhoz tartozó magasság is. Emiatt lesz a terület egyszerűen T = a · b2, és emiatt kell csak az átfogóhoz tartozó magasságot külön kiszámolni:
A két befogó tulajdonságairól – arányukról, szögeikről, a köztük lévő összefüggésekről – a derékszögű háromszög befogói oldalon írunk részletesen.
Befogótétel és magasságtétel: a kapcsolat mélyebb szintje
Ha az átfogóhoz tartozó magasságot behúzod, az átfogó két darabra esik: ezek a befogók merőleges vetületei. A befogótétel szerint mindegyik befogó a saját vetületének és az egész átfogónak a mértani közepe.
Kidolgozott példa · a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm
Hogyan osztja fel a magasság az átfogót?
- A befogótétel az a befogóra:p = a2c = 3610 = 3,6 cm
- A másik vetület a b befogóhoz:q = b2c = 6410 = 6,4 cm
- A két darab tényleg kiadja az átfogót:p + q = 3,6 + 6,4 = 10 cm
- A magasságtétel szerint:mc = √3,6 · 6,4 = √23,04 = 4,8 cm
EredményA vetületek 3,6 és 6,4 cm, a magasság mc = 4,8 cm – ugyanannyi, mint 6 · 810.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög oldalai 5, 12 és 13 cm. Melyik az átfogó?
Lehet-e két egyenlő hosszú befogó?
Melyik oldalhoz tartozik a derékszögű háromszögben a hosszabb magasság?
Gyakori kérdések
Mi a különbség a befogó és az átfogó között?
A befogók fogják közre a derékszöget, az átfogó pedig vele szemközt van. Egy derékszögű háromszögben két befogó és egy átfogó van, és az átfogó mindig hosszabb bármelyik befogónál.
Honnan tudom, melyik oldal az átfogó?
Keresd meg a derékszöget: a vele szemközti oldal az átfogó. Ha csak számok vannak megadva, a leghosszabb oldal az átfogó – például a 8, 15, 17 cm-es háromszögben a 17 cm-es.
Hogyan számolok befogót az átfogóból?
Kivonással: a = √c2 − b2. A 17 cm-es átfogóból és a 15 cm-es befogóból a = √289 − 225 = 8 cm. Ügyelj rá, hogy az átfogó négyzetéből vonj ki.
Van-e befogója és átfogója egy általános háromszögnek?
Nincs. Ezek a nevek a derékszöghöz kötődnek, ezért csak derékszögű háromszögben használhatók. Hegyes- vagy tompaszögű háromszögben egyszerűen oldalakról beszélünk.
Mi köti össze a befogókat az átfogóval a Pitagorasz-tételen kívül?
A befogótétel: a2 = c · p, ahol p az a befogó merőleges vetülete az átfogón. A szögfüggvények is kapcsolatot adnak: sin α = ac és cos α = bc.