Oldalak kiszámítása
A háromszög átfogója
Sok feladat azon bukik el, hogy nem a jó oldalt nevezik átfogónak. Itt előbb felismerjük az átfogót, csak utána számolunk vele.
Röviden a válasz
Az átfogó a derékszöggel szemközti oldal a derékszögű háromszögben. Ez egyben a háromszög leghosszabb oldala, jelölése a mi ábráinkon c, mert a derékszög a C csúcsnál van.
Nem derékszögű háromszögnek nincs átfogója – ott csak oldalakról beszélünk. Ha valaki „az általános háromszög átfogóját” keresi, valójában a leghosszabb oldalra vagy a koszinusztételre gondol.
Mekkora az átfogó?
Add meg a két befogót (vagy egy oldalt és egy szöget), és megkapod az átfogót, a szögeket és a területet is.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik oldal az átfogó?
Három ismertetőjegye van, és mind a három ugyanarra az oldalra mutat:
- a derékszöggel szemközt helyezkedik el – nem érinti a derékszög csúcsát,
- ez a leghosszabb oldal, mert a legnagyobb szöggel szemközti oldal a leghosszabb,
- a másik két oldal, a befogók fogják közre a derékszöget.
Miért az átfogó a leghosszabb oldal?
A háromszögben nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal áll. A derékszög 90°, a másik két szög összege szintén 90°, tehát mindkettő 90°-nál kisebb. A derékszög a legnagyobb szög, így a vele szemközti oldal a leghosszabb.
Ez azonnal ad egy ellenőrzést is: az átfogónak nagyobbnak kell lennie mindkét befogónál, de kisebbnek az összegüknél. A fenti háromszögben 40 < 41 < 49 – stimmel.
Kidolgozott példa · Befogók: 9 cm és 40 cm
Mekkora az átfogó, és tényleg ez-e a leghosszabb oldal?
- Pitagorasz-tétel:c2 = 92 + 402 = 81 + 1600 = 1681
- Gyökvonás:c = √1681 = 41 cm
- Összevetés a befogókkal:41 > 40 > 9
EredményAz átfogó 41 cm – valóban ez a leghosszabb oldal.
Az átfogó és a köré írt kör
A Thalész-tétel megfordítása szerint a derékszögű háromszög köré írt körének átmérője épp az átfogó, a kör középpontja pedig az átfogó felezőpontja. Ebből két hasznos következmény adódik:
A 41 cm-es átfogóhoz tehát 20,5 cm-es sugár tartozik, és a derékszög csúcsából az átfogó felezőpontjába húzott súlyvonal is pontosan 20,5 cm. Ez az egyetlen háromszögtípus, ahol a köré írt kör középpontja egy oldalra esik.
Mi van, ha a háromszög nem derékszögű?
Akkor nincs átfogója. A leghosszabb oldal továbbra is a legnagyobb szöggel szemközti oldal, de a Pitagorasz-tétel már nem érvényes rá. Ilyenkor a koszinusztétel a helyes eszköz:
Az általános háromszög hiányzó oldalainak számolásáról a háromszög oldalai kiszámítása oldalon írunk részletesen, a derékszögű esetről pedig a derékszögű háromszög átfogója oldalon.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög szögei 50°, 60° és 70°. Melyik oldal az átfogója?
Egy derékszögű háromszög oldalai 12, 16 és 20 cm. Melyik az átfogó?
Mekkora a köré írt kör sugara, ha az átfogó 26 cm?
Gyakori kérdések
Melyik a háromszög átfogója?
A derékszöggel szemközti oldal a derékszögű háromszögben. Az ábrákon a derékszög a C csúcsnál van, ezért az átfogó a c oldal, a befogók pedig a és b.
Minden háromszögnek van átfogója?
Nem. Átfogó csak derékszögű háromszögben létezik. Hegyesszögű és tompaszögű háromszögben csak oldalakról beszélünk, közülük a legnagyobb szöggel szemközti a leghosszabb.
Mindig az átfogó a leghosszabb oldal?
Igen. A derékszög a háromszög legnagyobb szöge, a nagyobb szöggel szemben pedig hosszabb oldal áll, ezért az átfogó hosszabb mindkét befogónál.
Hogyan számolom ki az átfogó hosszát?
A két befogóból Pitagorasz-tétellel: c = √a2 + b2. Ha csak egy befogót és egy hegyesszöget ismersz, akkor c = asin α, ahol α az a befogóval szemközti szög.
Mi köze az átfogónak a köré írt körhöz?
Az átfogó a köré írt kör átmérője, a sugár tehát R = c2. Ez a Thalész-tétel megfordítása, és ezért esik a kör középpontja az átfogó felezőpontjába.