Oldalak kiszámítása
A derékszögű háromszög befogói
A két befogó nem egyszerűen két oldal: ők zárják be a derékszöget, ők adják a területet, és mindegyik a másikhoz tartozó magasság is egyben.
Röviden a válasz
A derékszögű háromszög befogói azok az oldalak, amelyek közrefogják a derékszöget – a szokásos jelöléssel a és b, ha a derékszög a C csúcsnál van. Merőlegesek egymásra, ezért a terület egyszerűen T = a · b2.
Mindkét befogó rövidebb az átfogónál, de az összegük nagyobb nála. Ha az átfogó és az egyik befogó ismert, a másik a = √c2 − b2; például 26 cm-es átfogó és 10 cm-es befogó mellett a másik befogó 24 cm.
Befogószámoló kalkulátor
Add meg az átfogót és az egyik befogót (vagy egy befogót és egy szöget) – a hiányzó befogó kiemelve jelenik meg.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mi igaz mindig a két befogóra?
- Merőlegesek egymásra – ezért zárnak be derékszöget, és ezért olyan egyszerű a terület.
- Mindkettő rövidebb az átfogónál, viszont a kettő összege nagyobb nála: a + b > c.
- Mindegyik befogó a másikhoz tartozó magasság is: ma = b és mb = a.
- A hosszabb befogó a nagyobb hegyesszöggel áll szemközt.
- A két hegyesszög összege 90°, tehát a befogók aránya egyértelműen meghatározza a szögeket.
A hiányzó befogó kiszámítása
A Pitagorasz-tétel átrendezett alakja kell: az átfogó négyzetéből vonjuk ki a másik befogó négyzetét. A sorrend nem felcserélhető, mert az átfogó a leghosszabb oldal.
Kidolgozott példa · Átfogó 26 cm, egyik befogó 10 cm
Mekkora a másik befogó, a terület és a kerület?
- A Pitagorasz-tételt a hiányzó befogóra rendezzük:b2 = 262 − 102
- Behelyettesítve:b2 = 676 − 100 = 576
- Gyököt vonva:b = 24 cm
- A terület a két befogó szorzatának fele:T = 10 · 242 = 120 cm2
- A kerület a három oldal összege:K = 10 + 24 + 26 = 60 cm
Eredményb = 24 cm, T = 120 cm², K = 60 cm.
Befogó számítása szögből
Ha az átfogó és egy hegyesszög ismert, szögfüggvény visz célba. A szöggel szemközti befogóhoz szinusz, a melletti befogóhoz koszinusz kell – itt szorzunk, nem osztunk, mert a befogó rövidebb az átfogónál.
Kidolgozott példa · Átfogó 20 cm, az egyik hegyesszög 35°
Mekkora a két befogó?
- A 35°-os szöggel szemközti befogó:a = 20 · sin 35° = 20 · 0,5736 = 11,47 cm
- A szög melletti befogó:b = 20 · cos 35° = 20 · 0,8192 = 16,38 cm
- Ellenőrzés Pitagorasz-tétellel:11,472 + 16,382 = 131,6 + 268,3 = 399,9 ≈ 202
EredményA befogók a = 11,47 cm és b = 16,38 cm.
| Amit tudsz | Képlet a befogóra |
|---|---|
| Átfogó és a másik befogó | b = √c2 − a2 |
| Átfogó és a szemközti szög | a = c · sin α |
| Átfogó és a melletti szög | b = c · cos α |
| Másik befogó és a szemközti szög | a = b · tg α |
| Terület és a másik befogó | b = 2 · Ta |
Amikor a két befogó egyenlő
Ha a = b, egyenlő szárú derékszögű háromszögről van szó: a két hegyesszög egyaránt 45°, az átfogó pedig a befogó √2-szerese. Ez a „félnégyzet", ami minden négyzet átlós felezéséből keletkezik. A befogók és az átfogó viszonyát az összes tipikus esetre a derékszögű háromszög oldalainak aránya oldal foglalja össze.
A befogókhoz tartozó magasságokkal sincs dolgod: mivel merőlegesek egymásra, ma = b és mb = a. Csak az átfogóhoz tartozó magasságot kell számolni, ami a fenti háromszögben mc = 10 · 2426 = 9,23 cm.
Gyors önellenőrzés
Az átfogó 41 cm, az egyik befogó 9 cm. Mekkora a másik?
Egy derékszögű háromszög területe 54 cm², az egyik befogója 12 cm. Mekkora a másik befogó?
Lehet-e a két befogó egyenlő hosszú?
Gyakori kérdések
Mik a derékszögű háromszög befogói?
A derékszöget közrefogó két oldal, jelölésük a és b. Merőlegesek egymásra, mindkettő rövidebb az átfogónál, és a szorzatuk fele adja a háromszög területét.
Hogyan számolom ki az egyik befogót, ha az átfogót és a másik befogót tudom?
A Pitagorasz-tétel átrendezésével: b = √c2 − a2. Például 26 cm-es átfogó és 10 cm-es befogó esetén b = √676 − 100 = 24 cm.
Miért egyenlő a befogó a másikhoz tartozó magassággal?
Mert a két befogó merőleges egymásra. A magasság definíció szerint a csúcsból a szemközti oldalra állított merőleges – itt ezt a szerepet maga a másik befogó tölti be.
Melyik befogó a hosszabb?
Az, amelyik a nagyobb hegyesszöggel áll szemközt. Ha például az egyik hegyesszög 35°, a másik 55°, akkor az 55°-kal szemközti befogó a hosszabb.
Lehet a befogó hosszabb az átfogónál?
Nem. Az átfogó a 90°-os, vagyis a legnagyobb szöggel áll szemben, ezért mindig ez a leghosszabb oldal. Ha a számolásod mást ad, felcserélted az oldalak szerepét.