Tételek
Derékszögű háromszög befogótétele
A befogótétel akkor ér aranyat, ha az átfogóra eső szeletek jönnek elő a feladatban – ilyenkor Pitagorasz helyett egyetlen szorzás elég.
Röviden a válasz
A befogótétel (Euklidész tétele) szerint derékszögű háromszögben minden befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének szorzatával: a2 = p · c és b2 = q · c.
Itt p és q az a két szelet, amelyre az átfogóhoz tartozó magasság talppontja osztja az átfogót, és p + q = c. Másképp mondva: a befogó a hozzá tartozó szelet és a teljes átfogó mértani közepe.
Derékszögű háromszög kalkulátor
A befogótételhez az átfogó kell. Írd be a két befogót, olvasd le c-t, a szeletek pedig p = a²/c és q = b²/c.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mit nevezünk szeletnek?
Húzd be a derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasságot: a derékszög csúcsából indul, és merőlegesen érkezik az átfogóra. A talppontja két részre vágja az átfogót. Ezt a két darabot hívjuk szeleteknek.
- p az a szelet, amelyik az a befogó melletti csúcstól indul – ez az a befogó vetülete az átfogón,
- q a másik szelet, a b befogó vetülete,
- a kettő összege a teljes átfogó: p + q = c.
Miért igaz? – a hasonlóság a háttérben
A magasság két kisebb derékszögű háromszögre bontja az eredetit, és mindkét darab hasonló az eredetihez. A közös hegyesszög és a közös derékszög miatt már két szög egyezik, ami a hasonlóság SS alapesete.
Az a befogót tartalmazó kis háromszögben az a az átfogó, p pedig a hozzá csatlakozó befogó. Az eredeti háromszögben ugyanennek a szögnek c az átfogója és a a befogója. A megfelelő oldalak aránya: ac = pa. Szorozz keresztbe, és megkapod, hogy a2 = p · c.
Feladat: szeletből befogó
Kidolgozott példa · Az átfogó 25 cm, az egyik szelet 9 cm
Mekkora a két befogó?
- A 9 cm-es szelethez tartozó befogó a befogótétellel:a = √9 · 25 = √225 = 15 cm
- A másik szelet az átfogó maradéka:q = 25 − 9 = 16 cm
- A hozzá tartozó befogó ugyanígy:b = √16 · 25 = √400 = 20 cm
- Ellenőrzés Pitagorasz-tétellel:152 + 202 = 225 + 400 = 625 = 252
EredményA befogók 15 cm és 20 cm hosszúak.
Feladat: befogóból szelet
A tétel visszafelé is működik: ha a befogó és az átfogó ismert, a szelet egy osztással megvan.
Kidolgozott példa · Az átfogó 20 cm, az egyik befogó 12 cm
Mekkorák az átfogó szeletei és a másik befogó?
- A befogótételt átrendezve a szelet:p = a2c = 12220 = 14420 = 7,2 cm
- A másik szelet a maradék:q = 20 − 7,2 = 12,8 cm
- A másik befogó ismét a befogótétellel:b = √12,8 · 20 = √256 = 16 cm
- Ellenőrzés:122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202
EredményA szeletek 7,2 cm és 12,8 cm, a másik befogó 16 cm.
A befogótételből következik a Pitagorasz-tétel
Írd fel a tételt mindkét befogóra, és add össze a két egyenletet:
| Tétel | Képlet | Mikor használd |
|---|---|---|
| Befogótétel | a2 = p · c | Ha szelet és átfogó, vagy befogó és átfogó szerepel a feladatban. |
| Magasságtétel | m2 = p · q | Ha a két szelet vagy a magasság a kérdés. |
| Pitagorasz-tétel | a2 + b2 = c2 | Ha csak az oldalak szerepelnek, szeletek nélkül. |
A másik két tétel részletesen a derékszögű háromszög magasságtétele és a Pitagorasz-tétel derékszögű háromszögben oldalon szerepel.
Gyors önellenőrzés
Az átfogó 18 cm, az egyik szelet 2 cm. Mekkora a hozzá tartozó befogó?
Lehet-e a szelet hosszabb a befogónál?
Miért nem használható a befogótétel hegyesszögű háromszögben?
Gyakori kérdések
Mit mond ki a befogótétel?
Azt, hogy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének szorzatával: a2 = p · c, illetve b2 = q · c.
Mi az a p és q a befogótételben?
Az átfogóhoz tartozó magasság talppontja két részre osztja az átfogót; ez a két darab a p és a q. Mindig p + q = c, ahol c az átfogó.
Hogyan számolom ki a szeletet, ha a befogót és az átfogót ismerem?
Oszd el a befogó négyzetét az átfogóval: p = a2c. A másik szelet ezután kivonással jön: q = c − p.
Mi a különbség a befogótétel és a magasságtétel között?
A befogótételben a befogó négyzete a saját szeletének és a teljes átfogónak a szorzata, a magasságtételben pedig a magasság négyzete a két szelet szorzata. A befogótétel képletében mindig szerepel az átfogó, a magasságtételében soha.
Használható-e a befogótétel derékszögű háromszög szerkesztésénél?
Igen, épp ez az egyik fő alkalmazása: adott p és c mellett a befogó a mértani közép, amit Thalész-körrel meg lehet szerkeszteni. Ezért nevezik a tételt mértani középarányos szerkesztésnek is.