Oldalak kiszámítása
Háromszög befogó
A befogó a derékszög két szára. Ha az egyik hiányzik, három út vezet hozzá: a Pitagorasz-tétel, a szögfüggvények és a befogótétel – itt mind a három megvan, példákkal.
Röviden a válasz
A befogó a derékszögű háromszögnek az a két oldala, amely a derékszöget közrefogja. A szokásos jelöléssel a derékszög a C csúcsnál van, tehát a és b a befogó, c pedig az átfogó.
Ha az átfogót és az egyik befogót ismered, a hiányzó befogó a = √c2 − b2. Ha egy oldal és egy hegyesszög adott, szögfüggvénnyel jutsz el hozzá: a = c · sin α vagy a = b · tg α.
Befogókalkulátor
Írd be az átfogót és a másik befogót (vagy egy oldalt és egy szöget) – a hiányzó befogót azonnal megkapod.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik oldal a befogó?
A befogó a derékszög szára: a két rövidebb oldal, amelyik a derékszögnél találkozik. A harmadik oldal, amelyik a derékszöggel szemben van, az átfogó. A megkülönböztetés nem stílus kérdése – minden képlet más helyre teszi a befogót és az átfogót.
A befogó mindig rövidebb az átfogónál. Ez nem szabály, hanem következmény: a c2 = a2 + b2 egyenlőségből c2 > a2, tehát c > a. A két befogó viszont egymáshoz képest bármilyen lehet – akár egyenlő is, ilyenkor egyenlő szárú derékszögű háromszögről beszélünk.
Befogó kiszámítása az átfogóból (Pitagorasz-tétel)
Ez a leggyakoribb eset: adott az átfogó és az egyik befogó, kell a másik. A Pitagorasz-tételt kell átrendezni, vagyis kivonni, nem összeadni.
Kidolgozott példa · c = 17 cm átfogó, b = 15 cm befogó
Mekkora a másik befogó?
- A Pitagorasz-tételbe behelyettesítünk:a2 + 152 = 172
- A négyzetek kiszámítása:a2 + 225 = 289
- Kivonjuk a 225-öt:a2 = 289 − 225 = 64
- Gyököt vonunk:a = √64 = 8 cm
Eredménya = 8 cm
Befogó kiszámítása szögből
Ha nem két oldalad van, hanem egy oldal és egy hegyesszög, akkor szögfüggvény kell. A választás azon múlik, hogy a keresett befogó a szöggel szemben vagy a szög mellett van.
| Amit tudsz | A keresett befogó | Képlet |
|---|---|---|
| átfogó és α | a szöggel szemközti (a) | a = c · sin α |
| átfogó és α | a szög melletti (b) | b = c · cos α |
| b befogó és α | a szöggel szemközti (a) | a = b · tg α |
| a befogó és α | a szög melletti (b) | b = atg α |
Kidolgozott példa · c = 30 cm átfogó, α = 40°
Mekkora a két befogó?
- Az α-val szemközti befogó a szinusszal jön:a = 30 · sin 40° = 30 · 0,6428
- Vagyis:a = 19,28 cm
- Az α melletti befogó a koszinusszal:b = 30 · cos 40° = 30 · 0,766
- Vagyis:b = 22,98 cm
- Ellenőrzés Pitagorasszal:19,282 + 22,982 = 371,7 + 528,1 = 899,8 ≈ 302
Eredménya = 19,28 cm és b = 22,98 cm
A befogótétel: befogó a vetületből
Az érettségi feladatokban gyakran nem az egész átfogó és egy befogó adott, hanem az átfogó és a befogó merőleges vetülete rajta. Ilyenkor a befogótétel a leggyorsabb út.
Kidolgozott példa · c = 18 cm átfogó, a befogó vetülete 8 cm
Mekkora ez a befogó, és mekkora a másik?
- A befogótétel szerint:a2 = c · pa = 18 · 8 = 144
- Gyököt vonva:a = 12 cm
- A másik befogó vetülete a maradék:pb = 18 − 8 = 10 cm
- Újra a befogótétellel:b = √18 · 10 = √180 = 13,42 cm
Eredménya = 12 cm és b = 13,42 cm
Az eredmény Pitagorasszal is ellenőrizhető: 122 + 13,422 = 144 + 180 = 324 = 182. A befogótétel részletes levezetését a befogótétel oldalon találod, a hozzá tartozó magasságtétel pedig ugyanebből a hasonlóságból következik.
Melyik módszert válaszd?
| Amit ismersz | Módszer | Képlet |
|---|---|---|
| átfogó + másik befogó | Pitagorasz-tétel | a = √c2 − b2 |
| átfogó + hegyesszög | szinusz vagy koszinusz | a = c · sin α |
| másik befogó + hegyesszög | tangens | a = b · tg α |
| átfogó + a rá eső vetület | befogótétel | a = √c · pa |
| terület + másik befogó | területképlet | a = 2 · Tb |
Az utolsó sor arra épül, hogy derékszögű háromszögben a két befogó egyben magasság is egymáshoz, ezért a terület T = a · b2. Erről és a többi oldalról részletesen a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldalon olvashatsz.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög átfogója 20 cm, egyik befogója 16 cm. Mekkora a másik befogó?
Lehet-e a befogó ugyanolyan hosszú, mint az átfogó?
Egy befogó 6 cm, a vele szemközti szög 30°. Mekkora az átfogó?
Gyakori kérdések
Mi a befogó a háromszögben?
A derékszögű háromszög két olyan oldala, amely a derékszöget közrefogja. A szokásos jelölés szerint ezek az a és b oldalak, míg a derékszöggel szemközti c oldal az átfogó. Nem derékszögű háromszögben nincs befogó.
Hogyan számolom ki a befogót, ha az átfogó és a másik befogó adott?
A Pitagorasz-tétel átrendezésével: a = √c2 − b2. Például ha c = 17 cm és b = 15 cm, akkor a = √289 − 225 = √64 = 8 cm.
Mi a különbség a befogó és az átfogó között?
Az átfogó a derékszöggel szemközti, mindig leghosszabb oldal, a befogók pedig a derékszög szárai. Egy derékszögű háromszögben egy átfogó és két befogó van.
Hogyan kapom meg a befogót szögből?
Ha az átfogót ismered: a szöggel szemközti befogó a = c · sin α, a szög melletti b = c · cos α. Ha a másik befogót ismered, a tangens kell: a = b · tg α.
Mit mond ki a befogótétel?
Azt, hogy bármelyik befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének szorzatával: a2 = c · pa. Ebből a befogó a = √c · pa.
Lehet-e a két befogó egyenlő hosszú?
Igen, ilyenkor egyenlő szárú derékszögű háromszögről van szó, amelyben a két hegyesszög egyaránt 45°, az átfogó pedig a befogó √2-szerese.