Oldalak kiszámítása
Derékszögű háromszög befogó
A legtöbb hiba nem a számolásban van, hanem abban, hogy melyik oldalt hívjuk befogónak és melyik szög tartozik hozzá. Itt ez a felismerés kapja a főszerepet.
Röviden a válasz
A befogó a derékszögű háromszögnek az a két oldala, amely közrefogja a derékszöget. A harmadik, a derékszöggel szemközti oldal az átfogó – az mindig hosszabb bármelyik befogónál.
Ha az átfogót és az egyik befogót ismered, a másik befogó b = √c2 − a2. Ha egy hegyesszög is adott, elég egy szögfüggvény: a szöggel szemközti befogó c · sin, a mellette lévő c · cos.
Befogó kalkulátor
Add meg az átfogót és az egyik befogót – vagy egy oldalt és egy szöget.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik oldal a befogó?
A derékszögű háromszögnek három oldala van, de csak kettő befogó: az a kettő, amelyik a derékszög csúcsából indul. Ezek merőlegesek egymásra. A harmadik oldal, amelyik szemközt van a derékszöggel, az átfogó.
- A két befogó merőleges egymásra, ezért a terület egyszerűen T = a · b2 – nem kell külön magasságot keresni.
- A befogó mindig rövidebb az átfogónál. Ha a számolásod nagyobb befogót ad, mint az átfogó, elrontottad a képletet.
- Minden befogóhoz két szög tartozik: az egyik hegyesszög vele szemközt, a másik mellette van. Szögfüggvénynél ez dönti el, sinus vagy cosinus kell-e.
A befogó kiszámítása – három út
Az első képlet a Pitagorasz-tétel átrendezése. Az a2 + b2 = c2 összefüggésből a befogó úgy jön ki, hogy kivonsz, az átfogó pedig úgy, hogy összeadsz – ez a két eset kizárja egymást.
Kidolgozott példa · Átfogó 25 cm, egyik befogó 7 cm
Mekkora a másik befogó?
- A Pitagorasz-tételből a keresett befogóra rendezünk:b2 = c2 − a2
- Behelyettesítve:b2 = 252 − 72 = 625 − 49 = 576
- Gyököt vonunk:b = √576 = 24 cm
- Ellenőrzés visszafelé:72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252
Eredményb = 24 cm
Befogó számítás szögből
Ha egy hegyesszöget is megadnak, nem kell a másik befogót előbb kiszámolni. A szögfüggvény kiválasztásához egyetlen kérdést tegyél fel: a keresett befogó szemközt van a szöggel, vagy mellette?
| Amit ismersz | A keresett befogó helyzete | Képlet |
|---|---|---|
| Átfogó és a szög | szemközti | a = c · sin α |
| Átfogó és a szög | a szög melletti | a = c · cos β |
| Másik befogó és a szög | szemközti | a = b · tg α |
| Másik befogó és a szög | a szög melletti | a = btg β |
Kidolgozott példa · Átfogó 20 cm, α = 35°
Mekkora a két befogó?
- Az α szöggel szemközti befogó:a = c · sin α = 20 · sin 35° = 20 · 0,5736
- Vagyis:a = 11,47 cm
- Az α melletti befogó:b = c · cos α = 20 · 0,8192 = 16,38 cm
- Ellenőrzés Pitagorasz-tétellel:11,472 + 16,382 = 399,9 ~ 202
Eredménya = 11,47 cm és b = 16,38 cm
A befogótétel
Az átfogóra bocsátott magasság két részre vágja az átfogót. A befogótétel szerint minden befogó mértani közepe az átfogónak és a saját merőleges vetületének:
A 7–24–25 háromszögben a vetületek: p = 7225 = 1,96 cm és q = 24225 = 23,04 cm. A kettő összege 25 cm, vagyis pontosan az átfogó – ez egyben jó ellenőrzés is. A tétel bizonyítása és feladatai a befogótétel oldalon vannak.
Ha több feladaton át gyakorolnád a számolást, folytasd a derékszögű háromszög befogó kiszámítása oldalon, az átfogó irányából pedig a befogó és átfogó összehasonlítás segít.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 7 cm és 24 cm. Mekkora a területe?
Lehet-e egy derékszögű háromszög befogója 10 cm, ha az átfogója 8 cm?
Az átfogó 20 cm, az egyik hegyesszög 35°. Melyik befogó a hosszabb?
Gyakori kérdések
Mi a befogó a derékszögű háromszögben?
A derékszöget közrefogó két oldal. Merőlegesek egymásra, és mindkettő rövidebb az átfogónál, ami a derékszöggel szemközt található.
Hogyan kell kiszámolni a befogót?
Ha az átfogó és a másik befogó ismert, akkor b = √c2 − a2. Ha egy hegyesszög is adott, akkor szögfüggvénnyel: a szöggel szemközti befogó c · sin, a mellette lévő c · cos.
Mi a különbség a befogó és az átfogó között?
Az átfogó a derékszöggel szemközti, egyben leghosszabb oldal; a befogók pedig a derékszög szárai. Egy derékszögű háromszögben mindig két befogó és pontosan egy átfogó van.
Mit mond ki a befogótétel?
Azt, hogy a2 = c · p, vagyis a befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének szorzatával. A két vetület összege mindig az átfogó teljes hossza.
Miért nem lehet a befogó hosszabb az átfogónál?
Mert a háromszögben a nagyobb szöggel szemközt van a hosszabb oldal, és a derékszög a legnagyobb szög: a másik két szög összesen szintén 90°, tehát mindkettő hegyesszög.