Nevezetes vonalak és pontok
Háromszög köré írható kör sugara
Az általános R = a · b · c4 · T képlet mindig működik, de a három leggyakoribb háromszögtípusnál van nála sokkal rövidebb út. Ez az oldal ezeket a rövidítéseket gyűjti össze.
Röviden a válasz
Szabályos háromszögben R = a · √33, derékszögűben az átfogó fele, R = c2, egyenlő szárúban pedig R = b22 · m, ahol b a szár és m az alaphoz tartozó magasság.
Mindegyik ugyanabból az egyetlen képletből jön: R = a · b · c4 · T. A speciális alakok csak azért rövidebbek, mert ezeknél a háromszögeknél a terület és az oldalak összefüggése előre ismert.
Szabályos háromszög köré írható köre
Elég egyetlen adat – az oldal, a magasság, a kerület vagy a terület –, és megkapod az R sugarat.
Egyetlen adatból az összes többi következik – minden szöge 60°.
- a oldal
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képletek egy táblázatban
| Háromszög | R képlete | Hol van a középpont |
|---|---|---|
| Szabályos, oldala a | R = a · √33 | A súlypontban – minden nevezetes pont egybeesik. |
| Derékszögű, átfogója c | R = c2 | Az átfogó felezőpontjában. |
| Egyenlő szárú, szár b, magasság m | R = b22 · m | A szimmetriatengelyen. |
| Általános | R = a · b · c4 · T | Az oldalfelező merőlegesek metszéspontjában. |
| Bármelyik, ha van szöged | R = a2 · sin α | Ugyanott – ez a szinusztétel. |
Szabályos háromszög köré írható kör sugara
Szabályos háromszögben a köré írható kör középpontja egybeesik a súlyponttal, ezért a sugár a magasság kétharmada. Mivel a magasság m = a · √32, ebből:
Kidolgozott példa · Szabályos háromszög, a = 6 cm
Mekkora a köré írható kör sugara?
- A magasság:m = 6 · √32 = 3 · √3 = 5,196 cm
- A sugár ennek kétharmada:R = 23 · 5,196 = 3,464 cm
- Képlettel ugyanez:R = 6 · √33 = 2 · √3 = 3,464 cm
EredményR ≈ 3,46 cm
Derékszögű háromszög köré írható kör sugara
Itt a Thalész-tétel dolgozik helyetted: ha egy kör átmérője fölé rajzolsz háromszöget, a harmadik csúcsnál mindig derékszög lesz. Megfordítva: minden derékszögű háromszög átfogója a köré írható kör átmérője.
Kidolgozott példa · Derékszögű háromszög, befogók 5 cm és 12 cm
Mekkora a köré írható kör sugara?
- Átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √52 + 122 = √169 = 13 cm
- A sugár az átfogó fele:R = 132 = 6,5 cm
EredményR = 6,5 cm, és a középpont pontosan az átfogó felezőpontja.
Egyenlő szárú háromszög köré írható kör sugara
Egyenlő szárú háromszögben a középpont a szimmetriatengelyre esik. Ha a szár b, az alaphoz tartozó magasság pedig m, akkor a sugár egyetlen osztással megvan:
Kidolgozott példa · Egyenlő szárú: alap 10 cm, szárak 13 cm
Mekkora a köré írható kör sugara?
- A magasság felezi az alapot, így Pitagorasz-tétellel:m = √132 − 52 = √144 = 12 cm
- Behelyettesítés:R = 1322 · 12 = 16924
- Elosztva:R = 7,042 cm
EredményR ≈ 7,04 cm
Ha nem speciális háromszöggel dolgozol, a részletes levezetéseket és a lépésenkénti menetet a köré írható kör sugarának kiszámítása oldalon találod, a témakör teljes áttekintése pedig a mekkora a háromszög köré írható kör sugara oldalon van.
Gyors önellenőrzés
Egy szabályos háromszög kerülete 18 cm. Mekkora a köré írható kör sugara?
Egy derékszögű háromszög köré írható körének sugara 6,5 cm. Mekkora az átfogó?
Lehet-e a középpont a háromszögön kívül?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög köré írható kör sugarának képlete?
Általánosan R = a · b · c4 · T, ahol T a terület. Ha egy oldalt és a vele szemközti szöget ismered, a szinusztételből R = a2 · sin α is használható.
Mekkora a szabályos háromszög köré írható kör sugara?
R = a · √33, ami körülbelül az oldal 0,577-szerese. Ez egyben a magasság kétharmada is, mert a középpont a súlypontban van.
Mekkora a derékszögű háromszög köré írható kör sugara?
Pontosan az átfogó fele: R = c2. A kör középpontja az átfogó felezőpontja, ez a Thalész-tétel megfordítása.
Hogyan számolom ki egyenlő szárú háromszögnél?
A szár négyzetét oszd el az alaphoz tartozó magasság kétszeresével: R = b22 · m. A magasságot Pitagorasz-tétellel kapod a szárból és a fél alapból.
Mi a különbség a köré írható és a beírt kör sugara között?
A köré írható kör átmegy mindhárom csúcson, sugara R; a beírt kör mindhárom oldalt érinti belülről, sugara r = Ts. Minden háromszögben R ≥ 2r, egyenlőség csak szabályos háromszögben van.