Háromszögfajták
Félszabályos háromszög
Vágd ketté a szabályos háromszöget a magasságával – a fél darab a 30–60–90-es háromszög. Az oldalarány fejben tartása sok feladatnál kiváltja a szögfüggvényeket.
Röviden a válasz
A félszabályos háromszög a szabályos (egyenlő oldalú) háromszög fele: az a derékszögű háromszög, amit a magasság levág belőle. Szögei 30°, 60° és 90°.
Oldalainak aránya 1 : √3 : 2. A 30°-kal szemközti rövidebb befogó az átfogó fele, a hosszabb befogó pedig a rövidebb √3-szorosa.
Félszabályos (30–60–90) háromszög kalkulátor
Add meg az átfogót és a 30°-os szöget – vagy bármelyik két adatot, és a többi kijön.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mit jelent az, hogy félszabályos?
A szabályos háromszögnek mindhárom szöge 60°. Ha behúzod az egyik magasságát, az kettévágja a háromszöget két egybevágó derékszögű háromszögre – ezek a félszabályos háromszögek. A magasság egyben szögfelező is, ezért a 60°-os csúcsszögből 30° lesz.
Így alakul ki a három szög: a régi 60°-os alapszög megmarad, keletkezik egy 90°-os szög a magasság talppontjánál, és a felezett csúcsszögből 30° lesz. Innen a másik neve: 30–60–90-es háromszög.
Az oldalak aránya: 1 : gyök 3 : 2
A magasság felezi a szabályos háromszög alapját, ezért a rövidebb befogó pontosan fele az átfogónak. A hosszabb befogó a Pitagorasz-tételből jön: ha az átfogó 2x, a rövid befogó x, akkor a hosszabb √(2x)2 − x2 = √3x2 = x · √3.
Számolás az átfogóból
Kidolgozott példa · Az átfogó 18 cm
Mekkorák a befogók, a terület és a kerület?
- A 30°-kal szemközti befogó az átfogó fele:a = 182 = 9 cm
- A 60°-kal szemközti befogó ennek √3-szorosa:b = 9 · 1,7321 = 15,59 cm
- A terület a két befogó szorzatának fele:T = 9 · 15,592 = 70,15 cm2
- A kerület:K = 9 + 15,59 + 18 = 42,59 cm
Eredménya = 9 cm, b = 15,59 cm, T = 70,15 cm², K = 42,59 cm
Mire jó ez a gyakorlatban?
A félszabályos háromszög a szabályos háromszög magasságának és területének kiszámításához vezet a legrövidebb úton. Ha ismered az oldalt, félbe vágod, és egy Pitagorasz-tétellel kész is vagy.
Kidolgozott példa · Szabályos háromszög, 20 cm-es oldallal
Mekkora a magassága és a területe?
- A magasság felezi az alapot, így a félszabályos háromszög rövid befogója:202 = 10 cm
- A magasság a hosszabb befogó, tehát a rövid √3-szorosa:m = 10 · 1,7321 = 17,32 cm
- Az egész szabályos háromszög területe:T = 20 · 17,322 = 173,2 cm2
Eredménym = 17,32 cm, T = 173,2 cm²
Ugyanez a gondolatmenet áll a szabályos háromszög magassága és az egyenlő oldalú háromszög képletei mögött – a √3 mindig innen származik.
A két nevezetes derékszögű háromszög
| Félszabályos (30–60–90) | Egyenlő szárú derékszögű (45–45–90) | |
|---|---|---|
| Honnan jön | a szabályos háromszög fele | a négyzet fele |
| Oldalarány | 1 : √3 : 2 | 1 : 1 : √2 |
| Szimmetria | nincs szimmetriatengelye | egy szimmetriatengelye van |
| Jellemző szám | √3 ≈ 1,732 | √2 ≈ 1,414 |
Érdemes a kettőt együtt megjegyezni: a legtöbb szögfüggvényes fejszámolás valamelyikre vezethető vissza. A másikról itt olvashatsz: egyenlő szárú derékszögű háromszög.
Gyors önellenőrzés
Egy félszabályos háromszög rövidebb befogója 6 cm. Mekkora az átfogó?
Egy félszabályos háromszög hosszabb befogója 12 cm. Mekkora a rövidebb?
Van-e a félszabályos háromszögnek szimmetriatengelye?
Gyakori kérdések
Mi a félszabályos háromszög?
A szabályos háromszög fele: az a derékszögű háromszög, amit a szabályos háromszögből a magassága vág le. Szögei 30°, 60° és 90°.
Mekkorák a félszabályos háromszög szögei?
30°, 60° és 90°. A 60°-os szög a szabályos háromszög eredeti szöge, a 30°-os a magasság által felezett csúcsszög, a 90°-os pedig a magasság talppontjánál keletkezik.
Milyen arányban állnak a félszabályos háromszög oldalai?
1 : √3 : 2 arányban. A rövidebb befogó az átfogó fele, a hosszabb befogó pedig a rövidebb √3-szorosa, körülbelül 1,732-szerese.
Hogyan számolom ki a félszabályos háromszög területét?
A két befogó szorzatának fele. A rövid befogóval kifejezve T = a2 · √32. Például 9 cm-es rövid befogónál T = 70,15 cm².
Ugyanaz a félszabályos, mint az egyenlő szárú derékszögű háromszög?
Nem. A félszabályos háromszög szögei 30°, 60° és 90°, és mindhárom oldala más hosszú. Az egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei 45°, 45° és 90°, és két oldala egyenlő.