Területszámítás
Derékszögű háromszög területe – képlet
Egyetlen képletet kell tudni – a többi öt alak mind ebből származik. Itt megnézzük a levezetésüket és azt, melyik betű mit jelöl bennük.
Röviden a válasz
A derékszögű háromszög területe képlet: T = a · b2, ahol a és b a két befogó. Ez nem külön szabály, hanem az általános T = a · ma2 képlet, hiszen az egyik befogó a másikhoz tartozó magasság.
Átfogóval felírva T = c · mc2, szöggel pedig T = b2 · tg α2 (ahol α a b befogón fekvő hegyesszög) vagy T = c2 · sin α · cos α2. Mind ugyanazt az értéket adja.
Képletválasztó kalkulátor
Írd be azt a két adatot, amit ismersz – a kalkulátor a hozzá tartozó képlettel számol.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az alapképlet és a levezetése
A területképlet minden háromszögre oldal szor a hozzá tartozó magasság, felezve. Derékszögű háromszögben viszont a két befogó merőleges egymásra, tehát ma = b. Ezt behelyettesítve a · b2 marad – nem új képlet, csak a legegyszerűbb esete a réginek.
A képlet többi alakja
| Amit ismersz | Képlet | Honnan jön |
|---|---|---|
| Két befogó | T = a · b2 | Az alapeset. |
| Átfogó és a hozzá tartozó magasság | T = c · mc2 | Az általános képlet a c oldalra. |
| Befogó és a rajta fekvő hegyesszög | T = b2 · tg α2 | A másik befogó a = b · tg α. |
| Átfogó és egy hegyesszög | T = c2 · sin α · cos α2 | a = c · sin α és b = c · cos α. |
| Egyenlő szárú derékszögű, befogóval | T = b22 | A két befogó egyenlő. |
| Egyenlő szárú derékszögű, átfogóval | T = c24 | A befogó négyzete c22, ennek a fele a terület. |
A képlet átrendezése
A feladatok fele fordítva kérdez: a területet adja meg, és egy oldalra kíváncsi. Elég a 2T = a · b alakot megjegyezni – a terület kétszerese a befogók szorzata.
Kidolgozott példa · T = 150 cm², az egyik befogó 20 cm
Mekkora a másik befogó és az átfogó?
- Indulj az átrendezett alakból:a = 2 · Tb = 2 · 15020
- Vagyis a másik befogó:a = 15 cm
- Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √152 + 202 = √625 = 25 cm
Eredménya = 15 cm, c = 25 cm
Szöggel felírt alak
Ha csak egy oldalt és egy hegyesszöget kaptál, a hiányzó oldalt szögfüggvénnyel állítod elő, és ezt már bele lehet építeni a képletbe. Az átfogós alak a kétszeres szög azonosságával rövidíthető: T = c2 · sin 2α4.
Kidolgozott példa · Átfogó 10 cm, hegyesszögek 45°
Mekkora a terület?
- Szöggel felírva:T = c2 · sin 2α4 = 100 · sin 90°4
- Mivel sin 90° = 1:T = 1004 = 25 cm2
- Ellenőrzés az egyenlő szárú derékszögű képlettel:T = c24 = 1004 = 25 cm2
EredményT = 25 cm²
A 45°-os eset azért adja ugyanazt, mert ilyenkor a háromszög egyenlő szárú is: a két befogó egyenlő. A további bemenő adatok végigszámolását a derékszögű háromszög területének kiszámítása oldalon találod, gyakorlati példákat pedig a derékszögű háromszög területe oldalon.
Gyors önellenőrzés
Melyik két oldal szerepel a T = a · b2 képletben?
Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója 6 cm. Mekkora a területe?
Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság, ha a befogók 15 és 20 cm, az átfogó 25 cm?
Gyakori kérdések
Mi a derékszögű háromszög területének képlete?
T = a · b2, vagyis a két befogó szorzatának a fele. Az átfogó nem szerepel benne, mert a befogók merőlegesek egymásra.
Miért nem kell magasság a képletbe?
Mert az egyik befogó maga a másik befogóhoz tartozó magasság. Az általános T = a · ma2 képletben tehát ma helyére egyszerűen b kerül.
Hogyan írható fel a terület az átfogóval?
T = c · mc2, ahol mc az átfogóhoz tartozó magasság. Ez a magasság mc = a · bc – nem az átfogó fele, azt a súlyvonal adja.
Van szögfüggvényes területképlet derékszögű háromszögre?
Igen: egy befogóból és a rajta fekvő hegyesszögből T = b2 · tg α2, mert a másik befogó a = b · tg α. Átfogóból és egy hegyesszögből pedig T = c2 · sin α · cos α2, ami c2 · sin 2α4 alakban is írható.
Hogyan kapom meg a hiányzó befogót a területből?
Rendezd át a képletet: b = 2 · Ta. Például 150 cm² terület és 20 cm-es befogó esetén a másik befogó 15 cm.