Derékszögű háromszög területének számítása lépésről lépésre

Q: Hogyan kell a derékszögű háromszög területét kiszámítani?

A két befogó szorzatának a fele: T = (a · b)/(2). Az átfogó nem szerepel a képletben, mert a terület egy oldal és a rá merőleges magasság szorzatának a fele – itt pedig a befogók merőlegesek egymásra.

Q: Mit csináljak, ha csak az átfogót és az egyik befogót ismerem?

Előbb számold ki a hiányzó befogót: b = √(c² - a²), és csak utána használd a területképletet. Például 20 cm átfogó és 16 cm befogó esetén b = 12 cm, a terület pedig 96 cm².

Q: Ki lehet számolni a befogót a területből?

Igen, a képlet átrendezésével: b = (2 · T)/(a). Ha például a terület 70 cm² és az egyik befogó 10 cm, a másik 14 cm hosszú.

Q: Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?

mc = (a · b)/(c), vagyis a két befogó szorzata osztva az átfogóval. Ez ugyanaz, mint (2 · T)/(c), hiszen a terület kétszerese mindkét felírásban megjelenik.

Derékszögű háromszög kalkulátor

Bármelyik két adat elég: két befogó, befogó és átfogó, vagy oldal és hegyesszög. A terület mellett a hiányzó oldalakat is megkapod.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

A számítás menete négy bemeneti esetben

A területképlet két befogót kér. A feladatok viszont ritkán adják meg mindkettőt – ezért a munka nagyobb része a hiányzó adat pótlása.

Mit kell előbb kiszámolni?
Amit megadnak	Első lépés	Második lépés
A két befogó	nincs előlépés	T = a · b2
Átfogó és egy befogó	b = √c² − a²	T = a · b2
Egy oldal és egy hegyesszög	szögfüggvény a másik befogóra	T = a · b2
Átfogó és a hozzá tartozó magasság	nincs előlépés	T = c · m_c2
Terület és egy befogó	—	b = 2 · Ta (visszafelé)

1. eset: adott a két befogó

Kidolgozott példa · Befogók: 7 cm és 24 cm

Számold ki a területet, majd ellenőrzésképp az átfogót és a kerületet is!

A terület azonnal jön:T = 7 · 242 = 1682 = 84 cm²
Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √7² + 24² = √49 + 576 = √625
Vagyis:c = 25 cm, K = 7 + 24 + 25 = 56 cm

EredményT = 84 cm², c = 25 cm, K = 56 cm

2. eset: adott az átfogó és egy befogó

Ilyenkor a Pitagorasz-tétel kivonós alakja kell. Sokan itt rontanak: összeadják a két megadott számot négyzetre emelve, pedig az átfogó a nagyobbik, tehát abból kell kivonni.

Kidolgozott példa · Átfogó: 20 cm, egyik befogó: 16 cm

Mekkora a terület?

A hiányzó befogó a Pitagorasz-tételből:b = √c² − a² = √20² − 16²
Kiszámolva:b = √400 − 256 = √144 = 12 cm
Most már két befogó van:T = 16 · 122 = 1922
Eredmény:T = 96 cm²

EredményT = 96 cm²

3. eset: adott egy oldal és egy szög

Ha az átfogót és egy hegyesszöget ismered, a két befogó szögfüggvénnyel adódik: a = c · sin α és b = c · cos α. A területbe behelyettesítve ezek egyetlen képletté olvadnak össze.

Terület átfogóból és hegyesszögbőlT = c² · sin 2α4A c · sin α · c · cos α2 szorzatból jön, felhasználva, hogy 2 · sin α · cos α = sin 2α.

Kidolgozott példa · Átfogó: 18 cm, α = 25°

Mekkora a terület?

A két befogó a szögfüggvényekből:a = 18 · sin 25° = 18 · 0,4226 = 7,61 cm
És a másik:b = 18 · cos 25° = 18 · 0,9063 = 16,31 cm
Rövidebb úton, a kétszeres szöggel:T = 18² · sin 50°4 = 324 · 0,7664
Eredmény:T = 62,05 cm²

EredményT = 62,05 cm²

4. eset: visszafelé, területből az oldal

Kidolgozott példa · A terület 70 cm², az egyik befogó 10 cm

Mekkora a másik befogó és az átfogó?

Rendezd át a területképletet:b = 2 · Ta = 2 · 7010
Számolás:b = 14010 = 14 cm
Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √10² + 14² = √100 + 196 = √296
Vagyis:c = 17,20 cm

EredményA másik befogó 14 cm, az átfogó 17,20 cm

Ugyanez a gondolat működik akkor is, ha a szögeket keresed: a befogók arányából tg α = ab, és onnan a derékszögű háromszög szögeinek kiszámítása oldal módszerével jutsz tovább.

Az átfogóhoz tartozó magasság

Ha az átfogót tekinted alapnak, a hozzá tartozó magasság már nem befogó. Ez a harmadik magasság, és a terület kétféle felírásából adódik:

Az átfogóhoz tartozó magasságm_c = a · bc = 2 · Tc

Az első példa háromszögénél: m_c = 7 · 2425 = 16825 = 6,72 cm. Ellenőrzés: 25 · 6,722 = 84 cm² – ugyanannyi, mint a befogókból.

Az átfogóhoz tartozó magasság a derékszög csúcsából indul, és 6,72 cm hosszú.

Gyors önellenőrzés

Egy derékszögű háromszög átfogója 13 cm, egyik befogója 12 cm. Mekkora a területe?

A másik befogó √169 − 144 = √25 = 5 cm, tehát T = 12 · 52 = 30 cm².

A terület 96 cm², az egyik befogó 12 cm. Mekkora a másik?

b = 2 · 9612 = 19212 = 16 cm.

Melyik adat felesleges, ha megadják a két befogót és az átfogót is?

Az átfogó – a területhez csak a két befogó kell. Az átfogó viszont jó ellenőrzésre: a Pitagorasz-tételnek teljesülnie kell.

Miért nem kell magasságot számolni derékszögű háromszögben?

Mert a két befogó merőleges egymásra, tehát a hozzájuk tartozó magasság a másik befogó. Csak akkor kell külön magasság, ha az átfogót választod alapnak.

Gyakori kérdések

Hogyan kell a derékszögű háromszög területét kiszámítani?

A két befogó szorzatának a fele: T = a · b2. Az átfogó nem szerepel a képletben, mert a terület egy oldal és a rá merőleges magasság szorzatának a fele – itt pedig a befogók merőlegesek egymásra.

Mit csináljak, ha csak az átfogót és az egyik befogót ismerem?

Előbb számold ki a hiányzó befogót: b = √c² − a², és csak utána használd a területképletet. Például 20 cm átfogó és 16 cm befogó esetén b = 12 cm, a terület pedig 96 cm².

Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög oldalait, ha szöget kapok?

Az átfogóból: a = c · sin α és b = c · cos α. Ha befogót kaptál, akkor b = atg α, illetve c = asin α. Az így kapott befogókból már közvetlenül számolható a terület.

Ki lehet számolni a befogót a területből?

Igen, a képlet átrendezésével: b = 2 · Ta. Ha például a terület 70 cm² és az egyik befogó 10 cm, a másik 14 cm hosszú.

Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?

m_c = a · bc, vagyis a két befogó szorzata osztva az átfogóval. Ez ugyanaz, mint 2 · Tc, hiszen a terület kétszerese mindkét felírásban megjelenik.