Oldalak kiszámítása
Egy egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm
Egy adat kevés – a második viszont már mindent eldönt. Itt ugyanaz az 5 cm-es alap szerepel négyféle második adattal, végigszámolva.
Röviden a válasz
Az 5 cm-es alap önmagában nem határoz meg háromszöget: kell mellé még egy adat – a szár, a magasság, a kerület, a terület vagy valamelyik szög.
A tipikus tankönyvi eset az alap 5 cm és a szár 6,5 cm. Ekkor a magasság m = √6,52 − 2,52 = 6 cm, a terület 15 cm², a kerület 18 cm, az alapon fekvő szögek pedig 67,38°-osak.
Egyenlő szárú háromszög kalkulátor
Az alap már be van írva: 5 cm. Add meg mellé a szárat, a magasságot vagy valamelyik szöget, és a többi adat kijön.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért nem elég az alap?
Az egyenlő szárú háromszögnek két szabad adata van. Az alap az egyik, de a szárak hosszát semmi nem köti meg: az 5 cm-es alapra állíthatsz 3 cm-es és 30 cm-es szárakat is – mindkettő egyenlő szárú háromszög lesz, csak az egyik lapos, a másik nyúlánk.
Ez a felezés az egész feladatkör motorja. A fél alap (2,5 cm), a magasság és a szár egy derékszögű háromszöget alkot, amelyben a szár az átfogó – innentől minden a Pitagorasz-tételre vezethető vissza.
1. eset: az alap 5 cm, a szár 6,5 cm
Kidolgozott példa · a = 5 cm alap, b = c = 6,5 cm szár
Számítsuk ki a magasságot, a területet, a kerületet és a szögeket!
- A magasság a fél alappal és a szárral alkotott derékszögű háromszögből:m = √6,52 − 2,52 = √42,25 − 6,25
- Vagyis:m = √36 = 6 cm
- A terület alap szor magasság per kettő:T = 5 · 62 = 15 cm2
- A kerület a három oldal összege:K = 5 + 6,5 + 6,5 = 18 cm
- Az alapon fekvő szög tangensből:tg β = 62,5 = 2,4 → β = 67,38°
- A szárszög a szögösszegből:α = 180° − 2 · 67,38° = 45,24°
Eredménym = 6 cm, T = 15 cm², K = 18 cm, a szögek 67,38°, 67,38° és 45,24°
2. eset: az alap 5 cm, a kerület 17 cm
Kidolgozott példa · a = 5 cm alap, K = 17 cm kerület
Mekkorák a szárak, és mekkora a terület?
- A két szárra maradó hossz:17 − 5 = 12 cm
- A két szár egyenlő, tehát:b = c = 122 = 6 cm
- A magasság Pitagorasszal:m = √62 − 2,52 = √36 − 6,25 = √29,75
- Vagyis:m = 5,45 cm
- A terület:T = 5 · 5,452 = 13,64 cm2
EredményA szárak 6 cm-esek, a terület 13,64 cm²
3. eset: az alap 5 cm, a terület 20 cm²
Kidolgozott példa · a = 5 cm alap, T = 20 cm² terület
Mekkora a magasság és a szár?
- A területképletből a magasság:m = 2 · Ta = 2 · 205 = 8 cm
- A szár a fél alapból és a magasságból:b = √2,52 + 82 = √6,25 + 64
- Vagyis:b = √70,25 = 8,38 cm
- A kerület:K = 5 + 2 · 8,38 = 21,76 cm
Eredménym = 8 cm, a szár 8,38 cm, a kerület 21,76 cm
Összefoglaló: melyik adatból mi következik
| A második adat | Szár | Magasság | Terület |
|---|---|---|---|
| szár = 6,5 cm | 6,5 cm | 6 cm | 15 cm² |
| kerület = 17 cm | 6 cm | 5,45 cm | 13,64 cm² |
| terület = 20 cm² | 8,38 cm | 8 cm | 20 cm² |
| magasság = 12 cm | 12,26 cm | 12 cm | 30 cm² |
Az utolsó sor ellenőrzése: √2,52 + 122 = √6,25 + 144 = √150,25 = 12,26 cm. Az alap kiszámításának általános módszereit az egyenlő szárú háromszög alapjának kiszámítása oldalon találod, a magassághoz pedig az egyenlő szárú háromszög magassága oldal ad részletes levezetést.
Gyors önellenőrzés
Az alap 5 cm, a szár 13 cm. Mekkora a magasság?
Lehet-e az egyenlő szárú háromszög szára 2,4 cm, ha az alap 5 cm?
Az alap 5 cm, a szárszög 60°. Milyen háromszögről van szó?
Gyakori kérdések
Egy egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm – mit lehet ebből kiszámolni?
Önmagában semmit, mert a szárak hossza szabadon változhat. Egy második adat (szár, magasság, kerület, terület vagy szög) viszont már meghatározza az egész háromszöget.
Mekkora a területe, ha az alap 5 cm és a szár 6,5 cm?
A magasság √6,52 − 2,52 = 6 cm, ezért a terület T = 5 · 62 = 15 cm².
Hogyan kapom meg a szárat a kerületből?
Vond ki a kerületből az alapot, és oszd el kettővel. Ha az alap 5 cm és a kerület 17 cm, akkor a szár 17 − 52 = 6 cm.
Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei 5 cm-es alapnál?
A száron múlik. 6,5 cm-es szárnál az alapon fekvő szögek 67,38°-osak, a szárszög 45,24°. A két alapon fekvő szög mindig egyenlő egymással.
Milyen szár mellett létezik egyáltalán a háromszög?
A szárnak nagyobbnak kell lennie az alap felénél, tehát 5 cm-es alapnál 2,5 cm-nél hosszabbnak. Pontosan 2,5 cm-nél a három pont egy egyenesre esne.