Oldalak kiszámítása
Egyenlő szárú háromszög oldalai
Két oldal egyenlő, a harmadik az alap – de ebből a néhány szóból meglepően sok feladat félremegy. Nézzük végig, melyik oldal micsoda, és milyen szabályok kötik őket.
Röviden a válasz
Az egyenlő szárú háromszögnek két egyenlő hosszú oldala van, ezeket száraknak nevezzük, a harmadik oldal az alap. Jelölésünkben az alap az a oldal, a két szár b = c.
Az alap bármekkora lehet, amíg teljesül, hogy a < 2 · b, vagyis a két szár együtt hosszabb az alapnál. Az alap lehet rövidebb és hosszabb is a száraknál; ha éppen egyenlő velük, akkor a háromszög szabályos.
Egyenlő szárú háromszög kalkulátor
Két adat elég: alap és szár, alap és magasság, vagy egy oldal és egy szög. Az összes oldalt és szöget megkapod.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az alap és a szárak – melyik melyik?
A szár a két egyenlő oldal, az alap pedig az, amelyik kilóg a sorból. A nevük nem a rajz állásától függ: hiába rajzolod fejre a háromszöget, az alap attól még az az oldal marad, amelyiknek nincs párja.
- a két szár hossza megegyezik: b = c,
- az alap a két szár közé eső harmadik oldal: a,
- a szárak találkozásánál lévő csúcs a csúcspont, az itteni szög a szárszög,
- az alap két végén lévő szögek az alapon fekvő szögek, ezek mindig egyenlők.
Milyen hosszú lehet az alap?
A háromszög-egyenlőtlenség szerint bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál. Egyenlő szárú háromszögben ebből egyetlen feltétel marad:
Ha a = 2 · b, a „háromszög” egyetlen szakasszá lapul, ha pedig a > 2 · b, a szárak már nem érnek össze. A 10 cm-es szárakhoz tehát 20 cm-nél rövidebb alap tartozhat – 12 cm bőven belefér.
Az oldalakból következő adatok
Kidolgozott példa · Alap 12 cm, szárak 10 cm
Mekkora a magasság, a kerület és a terület?
- A magasság felezi az alapot, a fél alap 6 cm:m = √102 − 62 = √100 − 36
- Gyökvonás:m = √64 = 8 cm
- Kerület – a szárat kétszer számoljuk:K = 12 + 2 · 10 = 32 cm
- Terület az alappal és a hozzá tartozó magassággal:T = 12 · 82 = 48 cm2
Eredménym = 8 cm, K = 32 cm, T = 48 cm².
Két oldalból tehát minden más adat következik. Ez az egyenlő szárú háromszög nagy előnye: míg általános háromszöghöz három adat kell, itt kettő is elég, mert a szárak egyenlősége egy feltételt ingyen ad.
Két nevezetes eset
| Típus | Az oldalak viszonya | Szögei |
|---|---|---|
| Szabályos (egyenlő oldalú) | alap = szár, mind a három oldal egyenlő | 60° – 60° – 60° |
| Egyenlő szárú derékszögű | alap = b · √2, a szárak a befogók | 90° – 45° – 45° |
| Tompaszögű egyenlő szárú | alap > b · √2 | a szárszög nagyobb 90°-nál |
| Hegyesszögű egyenlő szárú | alap < b · √2 | mindhárom szög hegyesszög |
Az egyenlő szárú derékszögű háromszögben a szárak egyben a befogók, az alap pedig az átfogó. Ha a szár 6 cm, az alap 6 · √2 = 8,49 cm. A szabályos háromszög pedig az egyenlő szárú speciális esete – minden szabályos háromszög egyenlő szárú is, fordítva viszont nem igaz.
Ha konkrét számolásra van szükséged, a egyenlő szárú háromszög oldal számítás oldalon minden bemenő adatra végigvezetjük a lépéseket.
Gyors önellenőrzés
Lehet-e egy egyenlő szárú háromszög alapja 15 cm, ha a szárak 7 cm-esek?
Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 32 cm, az alapja 12 cm. Mekkorák a szárak?
Melyik oldal a leghosszabb, ha a szárszög 100°?
Gyakori kérdések
Melyik az egyenlő szárú háromszög alapja és melyek a szárai?
A két egyenlő hosszú oldal a szár, a harmadik – a párját nem találó – oldal az alap. A szárak által bezárt szög a szárszög, az alap két végén lévő egyenlő szögek az alapon fekvő szögek.
Lehet az alap hosszabb a száraknál?
Igen, egészen addig, amíg a < 2 · b teljesül. Például 10 cm-es szárakhoz 12 cm-es alap is tartozhat; ilyenkor a szárszög (73,74°) a háromszög legnagyobb szöge, és ha az alap a szár √2-szeresét is meghaladja, tompaszöggé válik.
Hány adat kell az egyenlő szárú háromszög megadásához?
Kettő elég, ha nem ugyanabból a fajtából valók: alap és szár, alap és magasság, szár és szárszög. A szárak egyenlősége helyettesíti a harmadik adatot.
Mekkora az egyenlő szárú háromszög területe az oldalaiból?
Előbb számold ki a magasságot Pitagorasz-tétellel (m = √b2 − (a2)2), majd T = a · m2. Alap 12 cm és szár 10 cm esetén m = 8 cm, így a terület 48 cm².
Minden egyenlő oldalú háromszög egyenlő szárú is?
Igen, a szabályos háromszög az egyenlő szárú speciális esete: nála bármelyik oldalt választhatod alapnak. Fordítva viszont nem igaz, egy egyenlő szárú háromszög általában nem szabályos.