Oldalak kiszámítása
Egyenlő szárú háromszög alapjának kiszámítása
Az alap az az oldal, amelyik kilóg a sorból – és épp ezért szokták kihagyni a megadott adatok közül. Négy tipikus adatpárral megmutatjuk, hogyan jön ki.
Röviden a válasz
Ha a szár és az alaphoz tartozó magasság ismert, az alap a Pitagorasz-tételből jön: a magasság felezi az alapot, ezért a2 = √b2 − m2, vagyis a = 2 · √b2 − m2. Például 25 cm-es szár és 24 cm-es magasság esetén a = 2 · √625 − 576 = 2 · 7 = 14 cm.
Ha a kerületet tudod, egyszerű kivonás elég: a = K − 2b. Területből a = 2 · Tm, a szárszögből pedig a = 2 · b · sin α2.
Alapszámoló kalkulátor
Két adat elég: szár és magasság, szár és szárszög, vagy magasság és alapon fekvő szög – az alap kiemelve jelenik meg.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért mindig a fél alappal számolunk?
Az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága egyben szimmetriatengely: pontosan félbevágja az alapot, és két egybevágó derékszögű háromszöget hoz létre. Ezekben a fél alap és a magasság a befogó, a szár pedig az átfogó. Minden alapszámítás ebből a derékszögű részháromszögből indul.
1. Alap a szárból és a magasságból
Kidolgozott példa · Szár 25 cm, magasság 24 cm
Mekkora az alap?
- A derékszögű részháromszögben a szár az átfogó, a magasság az egyik befogó:(a2)2 = 252 − 242
- Számoljuk ki a különbséget:(a2)2 = 625 − 576 = 49
- Gyököt vonva megkapjuk a fél alapot:a2 = 7 cm
- Az egész alap ennek a kétszerese:a = 14 cm
Eredménya = 14 cm. Ellenőrzés: a terület 14 · 242 = 168 cm².
2. Alap a kerületből
A kerület a két szár és az alap összege: K = 2b + a. Ebből az alap egyetlen kivonás – itt nincs szükség se gyökre, se szögfüggvényre.
Kidolgozott példa · Kerület 40 cm, szár 15 cm
Mekkora az alap?
- A két szár együtt:2 · b = 2 · 15 = 30 cm
- Az alap a maradék:a = 40 − 30 = 10 cm
Eredménya = 10 cm. Az oldalak tehát 10, 15 és 15 cm – a háromszög-egyenlőtlenség teljesül, mert 15 + 15 > 10.
3. Alap a területből
A terület képlete T = a · m2, ahol m az alaphoz tartozó magasság. Ezt átrendezve az alap azonnal adódik – ugyanaz a lépés, mint bármelyik háromszögnél.
Kidolgozott példa · T = 54 cm², magasság 9 cm
Mekkora az alap, és mekkorák a szárak?
- A területképletből:a = 2 · 549 = 1089 = 12 cm
- A fél alap 6 cm, így a szár a Pitagorasz-tételből:b = √62 + 92 = √36 + 81 = √117
- Gyököt vonva:b = 10,82 cm
EredményAz alap a = 12 cm, a szárak b = 10,82 cm hosszúak.
4. Alap a szárból és a szárszögből
A magasság a szárszöget is felezi, így a derékszögű részháromszögben a fél alappal szemközt épp a fél szárszög áll. Innen a szinusz definíciója adja a fél alapot.
Kidolgozott példa · Szár 12 cm, szárszög 50°
Mekkora az alap?
- A magasság felezi a szárszöget, ezért a részháromszögben 25°-os szög szerepel, és a fél alap ezzel szemközt van:sin 25° = a2 · 12
- A fél alap:a2 = 12 · sin 25° = 12 · 0,4226 = 5,07 cm
- Az alap kétszer ennyi:a = 10,14 cm
Eredménya = 10,14 cm
| Amit tudsz | Képlet az alapra |
|---|---|
| Szár és magasság | a = 2 · √b2 − m2 |
| Kerület és szár | a = K − 2b |
| Terület és magasság | a = 2 · Tm |
| Szár és szárszög | a = 2 · b · sin α2 |
| Szár és alapon fekvő szög | a = 2 · b · cos β |
Ha nem az alap, hanem a szárak a kérdés, az egyenlő szárú háromszög oldalainak kiszámítása oldal a folytatás. Arról pedig, hogy melyik oldal számít egyáltalán alapnak, az egyenlő szárú háromszög alapja oldalon írunk.
Gyors önellenőrzés
A szár 17 cm, az alaphoz tartozó magasság 15 cm. Mekkora az alap?
A kerület 32 cm, a szár 9 cm. Mekkora az alap?
Lehet-e az alap hosszabb a száraknál?
Gyakori kérdések
Hogyan számítom ki az egyenlő szárú háromszög alapját?
A leggyakoribb eset a szár és a magasság: a = 2 · √b2 − m2. A magasság felezi az alapot, ezért a Pitagorasz-tételből először a fél alap jön ki, amit meg kell kettőzni.
Mi a képlet, ha csak a kerületet és a szárat ismerem?
a = K − 2b. Például 40 cm kerület és 15 cm szár esetén az alap 40 − 30 = 10 cm. Fontos, hogy az eredmény kisebb legyen a két szár összegénél.
Hogyan kapom meg az alapot a szárszögből?
A magasság felezi a szárszöget, ezért a = 2 · b · sin α2. Ha a szár 12 cm és a szárszög 50°, akkor a = 2 · 12 · sin 25° = 10,14 cm.
Az egyenlő szárú háromszög magasságát is így kell számolni?
Fordított irányban: ha az alap és a szár ismert, m = √b2 − (a2)2. Ugyanaz a derékszögű részháromszög dolgozik, csak más oldalát keresed.
Melyik oldal az alap, ha mindhárom oldal egyenlő?
A szabályos háromszögben bármelyik oldal lehet alap, mert mindhárom egyforma. Ilyenkor mindhárom magasság egyenlő, és a szimmetria minden irányban megvan.