Oldalak kiszámítása
Az egyenlő szárú háromszög alapja
Az alap nem az az oldal, amelyik alul van, hanem az, amelyik kilóg a két egyforma szár közül. Ez a különbségtétel a legtöbb hiba forrása.
Röviden a válasz
Az egyenlő szárú háromszög alapja az az oldal, amelyik a két egyenlő hosszú oldaltól, a száraktól eltér. A szokásos jelölés szerint az alap az a oldal, a szárak pedig b = c. Az alaphoz tartozó két szög – az alapon fekvő szögek – mindig egyenlők egymással.
Az alap lehet rövidebb és hosszabb is a száraknál; egyetlen megkötés van, hogy kisebbnek kell lennie a két szár összegénél. Egy 5 cm alapú, 6,5 cm szárú háromszög magassága például 6 cm, területe 15 cm², kerülete 18 cm.
Egyenlő szárú háromszög kalkulátor
Add meg az alapot és a szárat – a magasság, a terület, a kerület és a szögek egyszerre megjelennek.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik oldal az alap?
Az egyenlő szárú háromszögben két oldal egyforma hosszú: ezek a szárak. A harmadik, a többitől eltérő oldal az alap. Nem a helyzete dönt: az alap akkor is alap marad, ha a rajzon oldalt vagy felül fut.
- Ha a három oldal közül kettő egyenlő, a harmadik az alap.
- Ha két szög egyenlő, a köztük lévő közös oldal az alap – a szögek egyenlősége ugyanis az oldalakét vonja maga után.
- Ha mindhárom oldal egyenlő (szabályos háromszög), bármelyik oldal lehet alap: minden nézetből egyenlő szárú.
Mi igaz mindig az alapra?
| Alap | Szár | |
|---|---|---|
| Hány van belőle? | Egy (a) | Kettő (b = c) |
| Vele szemközti szög | A szárszög (α) | Az alapon fekvő szögek (β = γ) |
| A hozzá tartozó magasság | Szimmetriatengely | Ferde, nem felez semmit |
| Hossza | Bármekkora, de a < 2b | Bármekkora, de b > a2 |
Az utolsó sor a háromszög-egyenlőtlenség két alakja. Ha az alap eléri a szárak összegét, a háromszög „ellapul", a három csúcs egy egyenesre esik.
A klasszikus feladat: az alap 5 cm
A tankönyvi feladatok nagy része az alap és a szár megadásával indul, és a magasságot, a területet vagy a szögeket kérdezi. A menet mindig ugyanaz: felezd az alapot, és dolgozz a keletkező derékszögű háromszögben.
Kidolgozott példa · Alap 5 cm, szár 6,5 cm
Mekkora a magasság, a terület, a kerület és a szögek?
- A magasság felezi az alapot, így a fél alap 2,5 cm. A szár az átfogó:m = √6,52 − 2,52 = √42,25 − 6,25
- A gyök alatt szép szám marad:m = √36 = 6 cm
- A terület az alappal és a hozzá tartozó magassággal:T = 5 · 62 = 15 cm2
- A kerület a három oldal összege:K = 5 + 6,5 + 6,5 = 18 cm
- Az alapon fekvő szög a koszinuszból:cos β = 2,56,5 = 0,3846 → β = 67,38°
Eredménym = 6 cm, T = 15 cm², K = 18 cm, a szögek pedig 67,38°, 67,38° és 45,24°.
Mikor hosszabb az alap a száraknál?
Semmi nem tiltja, hogy az alap legyen a leghosszabb oldal – ilyenkor a háromszög lapos, a szárszög nagy. A fordulópont ott van, ahol a szárszög épp derékszög: ez akkor következik be, ha a = b · √2.
- Ha a < b · √2, a szárszög hegyesszög (a fenti példában 6,5 · 1,414 = 9,19 cm a határ, az 5 cm-es alap jóval alatta van).
- Ha a = b · √2, a szárszög pontosan 90° – ez az egyenlő szárú derékszögű háromszög.
- Ha a > b · √2, a szárszög tompaszög, a háromszög elnyúlik.
Ha nem az adatokat, hanem magát az alapot kell kiszámolnod – kerületből, területből vagy szögből –, az egyenlő szárú háromszög alapjának kiszámítása oldalon négy módszert találsz rá. A területszámítás részleteit az egyenlő szárú háromszög területe oldal viszi tovább.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög oldalai 7, 7 és 9 cm. Melyik az alap?
Az alap 5 cm, a szárak 8 cm-esek. Hegyes- vagy tompaszögű a szárszög?
Lehet-e 3 cm az alap, ha a szárak 1 cm-esek?
Gyakori kérdések
Melyik oldal az egyenlő szárú háromszög alapja?
Az, amelyik a két egyenlő hosszú oldaltól, a száraktól különbözik. Jelölése általában a, a szárak pedig b és c. A helyzete nem számít: az alap akkor is alap, ha nem alul van a rajzon.
Miért egyenlők az alapon fekvő szögek?
Mert a háromszög tengelyesen szimmetrikus az alaphoz tartozó magasságra. A tükrözés a két szárat egymásba viszi, velük együtt pedig a hozzájuk tartozó alapon fekvő szögeket is.
Egy egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm, szára 6,5 cm. Mekkora a területe?
A fél alap 2,5 cm, így a magasság √6,52 − 2,52 = 6 cm. A terület ezzel T = 5 · 62 = 15 cm², a kerülete pedig 18 cm.
Lehet az alap hosszabb a szárnál?
Igen, amíg kisebb a két szár összegénél. Ha az alap nagyobb, mint a szár √2-szerese, a szárszög tompaszög lesz, és a háromszög elnyúlik.
Mi az alap a szabályos háromszögben?
Bármelyik oldal, mert mindhárom egyenlő. A szabályos háromszög egyben egyenlő szárú is – ráadásul mindhárom irányból, ezért három szimmetriatengelye van.