Háromszögfajták
Az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai
Minden tulajdonság egyetlen tényből következik: a két szár egyenlő. Innen jön a szimmetria, onnan a szögek, és onnan az összes képlet.
Röviden a válasz
Az egyenlő szárú háromszögnek két egyenlő oldala (a szárak) és egy ettől eltérő harmadik oldala (az alap) van. Legfontosabb tulajdonsága, hogy az alapon fekvő két szöge egyenlő, és hogy van egy szimmetriatengelye: az alap felező merőlegese.
Ez a tengely egyszerre magasság, súlyvonal, szögfelező és felező merőleges, ezért két adatból (például alap és szár) a háromszög minden mérete kiszámolható. Ha az alap 16 cm és a szárak 10 cm-esek, a magasság 6 cm, a terület 48 cm², az alapon fekvő szögek pedig 36,87°-osak.
Egyenlő szárú háromszög minden adata
Két adat elég. A kiemelt $β$ az alapon fekvő szög – ebből mindig kettő egyenlő van. A beállított 16 cm-es alaphoz és 10 cm-es szárhoz 36,87°-os alapszögek tartoznak.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A tulajdonságok listája
- Két oldala, a szárak egyenlő hosszúak; a harmadik oldal az alap.
- Az alapon fekvő két szög egyenlő – ez a legtöbbet használt tulajdonság.
- Van pontosan egy szimmetriatengelye: az alap felező merőlegese (szabályos háromszögnél három).
- A tengely egyszerre magasság, súlyvonal, szögfelező és oldalfelező merőleges.
- A súlypont, a magasságpont, a beírt és a köré írt kör középpontja mind erre a tengelyre esik.
- A két szárhoz tartozó magasság egyenlő, ahogy a két szárhoz tartozó súlyvonal és szögfelező is.
- A szárszög és az alapon fekvő szögek között mindig fennáll: α + 2β = 180°.
Miért egyenlő a két alapon fekvő szög?
Húzd be a szárszög szögfelezőjét. Ez a szakasz két háromszögre bontja az eredetit, és ezek egybevágók: egyik oldaluk közös, a szárak egyenlők, a köztük lévő szög pedig a felezés miatt szintén egyenlő – ez a két oldal és a közbezárt szög alapeset. Egybevágó háromszögekben a megfelelő szögek egyenlők, tehát az alapon fekvő szögek is azok.
Ugyanez fordítva is igaz: ha egy háromszögnek két egyenlő szöge van, akkor egyenlő szárú. Ezt gyakran kérik feladatban: ha kiszámolod, hogy két szög egyforma, máris tudod, hogy a velük szemközti oldalak is egyenlők.
Egy háromszög minden adata két számból
Kidolgozott példa · Alap 16 cm, szárak 10 cm
Számold ki a magasságot, a területet, a kerületet és a szögeket!
- A magasság a fél alappal (8 cm) és a szárral alkotott derékszögű háromszögből:m = √102 − 82 = √100 − 64 = √36 = 6 cm
- Terület és kerület:T = 16 · 62 = 48 cm2, K = 16 + 2 · 10 = 36 cm
- Az alapon fekvő szög ugyanabból a derékszögű háromszögből:cos β = 810 = 0,8 → β = 36,87°
- A szárszög a szögösszegből:α = 180° − 2 · 36,87° = 106,26°
- A szárhoz tartozó magasság már nem a tengely, ezt a területből kapod:mb = 2 · 4810 = 9,6 cm
Eredménym = 6 cm, T = 48 cm², K = 36 cm, a szögek 106,26°, 36,87° és 36,87°.
| Mennyiség | Képlet | A példában |
|---|---|---|
| Magasság az alaphoz | m = √b2 − (a2)2 | 6 cm |
| Terület | T = a · m2 | 48 cm² |
| Kerület | K = a + 2b | 36 cm |
| Alapon fekvő szög | cos β = a2b | 36,87° |
| Szárszög | α = 180° − 2β | 106,26° |
| Magasság a szárhoz | mb = 2 · Tb | 9,6 cm |
Speciális esetek
- Szabályos háromszög: az alap is egyenlő a szárakkal, minden szöge 60°, három tengelye van. Az egyenlő szárú háromszögek közé is beletartozik.
- Egyenlő szárú derékszögű háromszög: a szárszög 90°, az alapon fekvő szögek 45°-osak, az alap a szár √2-szerese.
- Tompaszögű egyenlő szárú: a szárszög 90° fölött van, mint a fenti példában.
A szögek részletes számolását az egyenlő szárú háromszög szögei oldalon találod, a területképleteket az egyenlő szárú háromszög területe, a magasságot pedig az egyenlő szárú háromszög magassága oldal veszi végig.
Gyors önellenőrzés
Egy egyenlő szárú háromszög szárszöge 40°. Mekkorák az alapon fekvő szögek?
Egy háromszög szögei 55°, 55° és 70°. Egyenlő szárú?
Lehet-e egy egyenlő szárú háromszög alapja hosszabb, mint a két szár összege?
Gyakori kérdések
Mik az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai?
Két oldala (a szárak) egyenlő, az alapon fekvő két szöge egyenlő, és van egy szimmetriatengelye: az alap felező merőlegese. Ez a tengely egyben magasság, súlyvonal és a szárszög szögfelezője, és rá esik a súlypont, a magasságpont, valamint a beírt és a köré írt kör középpontja is.
Hogyan számolom ki az egyenlő szárú háromszög területét?
Előbb a magasságot a Pitagorasz-tétellel: m = √b2 − (a2)2, majd T = a · m2. Például 16 cm-es alappal és 10 cm-es szárakkal a magasság 6 cm, a terület 48 cm².
Hogyan kapom meg az egyenlő szárú háromszög magasságát?
Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, így a szár, a fél alap és a magasság derékszögű háromszöget alkot: m = √b2 − (a2)2. A szárhoz tartozó magasság ettől eltér, azt a területből számold: mb = 2 · Tb.
Igaz-e, hogy két egyenlő szögből következik az egyenlő szárúság?
Igen, ez a tétel megfordítása. Ha egy háromszögnek két szöge egyenlő, akkor a velük szemközti oldalak is egyenlők, tehát a háromszög egyenlő szárú.
Lehet az egyenlő szárú háromszög derékszögű vagy tompaszögű?
Igen, mindkettő. Ha a szárszög 90°, egyenlő szárú derékszögű háromszöget kapsz 45°-os alapszögekkel; ha a szárszög nagyobb 90°-nál, a háromszög tompaszögű lesz.