Oldalak kiszámítása
Egyenlő szárú háromszög oldal számítás
Ugyanaz a háromszög, ötféle megadás. Az alábbi menetrend megmondja, melyik adatpárból melyik képlettel jutsz el a hiányzó oldalhoz.
Röviden a válasz
A szár a fél alapból és a magasságból Pitagorasz-tétellel jön: b = √(a2)2 + m2. Az alap ugyanennek az átrendezése: a = 2 · √b2 − m2.
Ha szög van megadva, a szárhoz és az alaphoz szögfüggvény kell: a = 2 · b · cos β, ahol β az alapon fekvő szög. Területből vagy kerületből is elindulhatsz – mindkettőt végigszámoljuk lentebb.
Oldalszámító kalkulátor
Tölts ki bármelyik két mezőt – alap, szár, magasság, alapon fekvő szög vagy szárszög –, a többi adat magától megjelenik.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A kulcs: a magasság kettévágja a háromszöget
Minden oldalszámítás ugyanarra épül. Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, és két egybevágó derékszögű háromszöget hoz létre. Ezek befogói a fél alap és a magasság, átfogójuk pedig a szár:
| Amit ismersz | Amit keresel | Képlet |
|---|---|---|
| alap és magasság | szár | b = √(a2)2 + m2 |
| szár és magasság | alap | a = 2 · √b2 − m2 |
| szár és alapon fekvő szög | alap | a = 2 · b · cos β |
| szár és szárszög | alap | a = 2 · b · sin α2 |
| terület és magasság | alap | a = 2 · Tm |
| kerület és alap | szár | b = K − a2 |
Szár számítása alapból és magasságból
Kidolgozott példa · Alap 18 cm, magasság 12 cm
Mekkora egy szár?
- A fél alap az egyik befogó:a2 = 182 = 9 cm
- A szár a derékszögű részháromszög átfogója:b = √92 + 122 = √81 + 144
- Gyökvonás:b = √225 = 15 cm
- Ellenőrzés a területtel:T = 18 · 122 = 108 cm2
EredményEgy szár 15 cm, a kerület 18 + 2 · 15 = 48 cm.
Alap számítása szárból és magasságból
Fordított irány, ugyanaz a képlet átrendezve. Itt a szár az átfogó, ezért kivonás lesz a gyök alatt, a végén pedig ne felejtsd el a kettes szorzót – a Pitagorasz-tétel csak a fél alapot adja.
Kidolgozott példa · Szár 26 cm, magasság 24 cm
Mekkora az alap?
- A fél alap a hiányzó befogó:a2 = √262 − 242 = √676 − 576
- Gyökvonás:a2 = √100 = 10 cm
- A teljes alap ennek a kétszerese:a = 2 · 10 = 20 cm
EredményAz alap a = 20 cm.
Oldalszámítás szögből
Ha szög szerepel a feladatban, a fél háromszögben használj szögfüggvényt. Az alapon fekvő β szög melletti befogó a fél alap, a szemközti befogó a magasság:
Kidolgozott példa · Szár 20 cm, alapon fekvő szög 50°
Mekkora az alap és a magasság?
- A fél alap a szög melletti befogó:a2 = 20 · cos 50° = 20 · 0,6428 = 12,86 cm
- A teljes alap:a = 2 · 12,86 = 25,71 cm
- A magasság a szemközti befogó:m = 20 · sin 50° = 20 · 0,766 = 15,32 cm
Eredménya = 25,71 cm és m = 15,32 cm.
Ha nem az alapon fekvő szöget, hanem a szárszöget adják meg, felezd el: a magasság a szárszöget is felezi, így a fél szárszög szinuszával kapod a fél alapot. A szögek közti átváltásról az egyenlő szárú háromszög szögei oldalon olvashatsz.
Ha a terület vagy a kerület adott
Területből az alap egy osztással megvan: a = 2 · Tm. Kerületből még egyszerűbb: vond ki az alapot, és felezd a maradékot (b = K − a2), vagy fordítva, a = K − 2 · b.
Ha viszont a terület mellé nem magasságot, hanem szárat kapsz, a feladat másodfokúvá válik: a T = a2 · √b2 − (a2)2 egyenletet kell megoldani a-ra. Ilyenkor gyorsabb a fenti kalkulátort használni.
Gyors önellenőrzés
Az alap 18 cm, a szár 15 cm. Mekkora a magasság?
A kerület 48 cm, a szár 15 cm. Mekkora az alap?
A terület 108 cm², a magasság 12 cm. Mekkora az alap?
Miért nem lehet a szár rövidebb a magasságnál?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki az egyenlő szárú háromszög szárát?
Ha az alapot és a magasságot ismered: b = √(a2)2 + m2. Ha a kerület és az alap adott, akkor b = K − a2.
Hogyan kapom meg az alapot, ha a szárat és a magasságot tudom?
Pitagorasz-tétellel a fél alapot számolod ki, majd megduplázod: a = 2 · √b2 − m2. A duplázás lemaradása a leggyakoribb hiba ebben a feladattípusban.
Hogyan számolok magasságot egyenlő szárú háromszögben?
Az alaphoz tartozó magasság m = √b2 − (a2)2, mert a magasság felezi az alapot. Szögből: m = b · sin β, ahol β az alapon fekvő szög.
Mennyi az egyenlő szárú háromszög területe?
A szokásos képlet: T = a · m2. Például 18 cm-es alaphoz és 12 cm-es magassághoz T = 108 cm² tartozik. Ha csak az oldalak ismertek, előbb a magasságot számold ki.
Elég két adat az egyenlő szárú háromszög kiszámításához?
Igen, ha nem ugyanaz a fajtájuk. Alap és szár, alap és magasság, szár és szárszög – mindegyik páros meghatározza a háromszöget, mert a szárak egyenlősége a harmadik feltétel.