Négyszögek
Az egyenlő szárú trapéz területe
A szimmetrikus trapéznál szinte sosem adják meg a magasságot – a szárból kell kiszámolnod. Itt pontosan ez a lépés van kidolgozva, szögből induló változattal együtt.
Röviden a válasz
Az egyenlő szárú (szimmetrikus) trapéz területe ugyanaz, mint bármelyik trapézé: T = a + c2 · m. A feladat neheze itt a magasság megszerzése, mert azt általában nem adják meg, csak a szárat.
A szimmetria miatt a felső alap mindkét oldalon ugyanannyival marad el az alsótól: a túlnyúlás x = a − c2. Ebből a magasság Pitagorasz-tétellel jön: m = √b2 − x2, ahol b a szár.
Egyenlő szárú trapéz kalkulátor
A két szár helyére ugyanazt a számot írd. A magasságot előbb ki kell számolnod – a lépések alatta következnek.
A két párhuzamos oldal és a magasság kell. A szárak megadásával a kerület is kijön.
- a oldal
- –
- c oldal
- –
- b oldal
- –
- d átmérő / átló
- –
- m magasság
- –
- k középvonal
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mitől egyenlő szárú a trapéz?
Az egyenlő szárú trapéz két szára egyenlő hosszú, és van egy szimmetriatengelye: a két párhuzamos oldal felezőpontján átmenő egyenes. Emiatt nemcsak a szárak, hanem az alapokon fekvő szögek és a két átló is egyenlő. Sokszor szimmetrikus trapéznak is hívják – ugyanaz az alakzat.
- A két szár egyenlő: b = d.
- Az alsó alapon fekvő két szög egyenlő, és a felső alapon fekvő kettő is.
- A két átló egyenlő hosszú.
- Egy szimmetriatengelye van (a paralelogrammának nulla, a deltoidnak szintén egy).
- Húrnégyszög: mindig van köré írható kör.
Kidolgozott példa: szárból a magasság
Kidolgozott példa · a = 24 cm, c = 8 cm, szár = 17 cm
Mekkora az egyenlő szárú trapéz területe és kerülete?
- Az alapok különbsége két egyenlő részre oszlik:x = a − c2 = 24 − 82 = 8 cm
- A szár, a túlnyúlás és a magasság derékszögű háromszöget alkot, ahol a szár az átfogó:m = √172 − 82 = √289 − 64 = √225
- Vagyis:m = 15 cm
- Most jöhet a területképlet:T = 24 + 82 · 15 = 16 · 15 = 240 cm2
- A kerület a négy oldal összege:K = 24 + 8 + 17 + 17 = 66 cm
EredményT = 240 cm², K = 66 cm
Ha szöget adnak meg a szár mellé
A másik gyakori feladattípusban az alapon fekvő szöget kapod meg. Ilyenkor a magasság és a túlnyúlás közvetlenül a szögfüggvényekből jön, Pitagorasz-tétel nélkül.
Kidolgozott példa · c = 10 cm, szár = 12 cm, alapon fekvő szög = 60°
Mekkora a trapéz területe?
- A túlnyúlás a szár vízszintes vetülete (cos 60° = 0,5):x = 12 · cos 60° = 12 · 0,5 = 6 cm
- Az alsó alap a felsőnél két túlnyúlással hosszabb:a = 10 + 2 · 6 = 22 cm
- A magasság a szár függőleges vetülete (sin 60° = 0,8660):m = 12 · sin 60° = 12 · 0,8660 = 10,392 cm
- Végül a terület:T = 22 + 102 · 10,392 = 16 · 10,392
- Az eredmény (a kerekítést csak a végén végezd el):T = 166,28 cm2
EredményT ≈ 166,28 cm²
Gyakorlati példa: trapéz alakú virágágyás
Kidolgozott példa · Szimmetrikus ágyás 3,2 m és 1,8 m párhuzamos oldallal
Egy szimmetrikus trapéz alakú virágágyás párhuzamos oldalai 3,2 m és 1,8 m, mélysége 2 m. Hány m² a területe, és hány m³ föld kell bele 5 cm vastagon?
- A területképlet:T = 3,2 + 1,82 · 2 = 2,5 · 2
- A terület:T = 5 m2
- Az 5 cm vastag réteg 0,05 m, a térfogat a terület és a vastagság szorzata:V = 5 · 0,05 = 0,25 m3
Eredmény5 m² az ágyás, 0,25 m³ (250 liter) föld kell bele
A képlet levezetése és az összes trapéztípus a trapéz területe oldalon van; a derékszögű trapéznál a merőleges szár maga a magasság, az átrendezésekről pedig a trapéz területe képlet oldalon írunk.
Gyors önellenőrzés
Egy egyenlő szárú trapéz alapjai 13 cm és 7 cm, szára 5 cm. Mekkora a magassága és a területe?
Miért egyenlő az egyenlő szárú trapéz két átlója?
Gyakori kérdések
Mi az egyenlő szárú trapéz területének képlete?
T = a + c2 · m, ugyanaz, mint bármelyik trapéznál. A szimmetria abban segít, hogy a magasságot ki tudod számolni a szárból: m = √b2 − (a − c2)2.
Hogyan számolom ki a magasságot, ha csak a szárat ismerem?
Előbb a túlnyúlás: x = a − c2. Ezután Pitagorasz-tétel a szárral mint átfogóval: m = √b2 − x2. Ha a = 24 cm, c = 8 cm és b = 17 cm, akkor x = 8 cm és m = 15 cm.
Miért osztjuk kettővel az alapok különbségét?
Mert a szimmetria miatt a felső alap mindkét oldalon ugyanannyival marad el az alsótól. A két „kilógó” darab együtt a − c, tehát egyenként ennek a fele.
Mi a különbség a szimmetrikus és az egyenlő szárú trapéz között?
Semmi, a két elnevezés ugyanazt az alakzatot jelöli: azt a trapézt, amelynek a két szára egyenlő, és van szimmetriatengelye.
Igaz-e, hogy az egyenlő szárú trapéznak mindig van köré írható köre?
Igen. A szemközti szögei kiegészítő szögek (összegük 180°), ezért húrnégyszög – ez a paralelogrammára például nem igaz, kivéve ha téglalap.