Négyszögek
Trapéz területe – képlet
A képlet minden alakja, minden átrendezése és minden jelölésváltozata egy helyen – hogy bármelyik tankönyvben találkozol vele, felismerd.
Röviden a válasz
A trapéz területének képlete T = a + c2 · m, ahol a és c a két párhuzamos oldal, m pedig a köztük mért merőleges távolság. Ugyanez egy törtben írva: T = (a + c) · m2.
A képlet másik, sokszor kényelmesebb alakja T = k · m, ahol k = a + c2 a középvonal. A két alak ugyanaz, csak az egyikben a felezés külön lépés.
Trapéz területképlet – kalkulátor
Írd be a két párhuzamos oldalt és a magasságot, és nézd meg a kalkulátor lépéseit – pontosan a képlet menetét követik.
A két párhuzamos oldal és a magasság kell. A szárak megadásával a kerület is kijön.
- a oldal
- –
- c oldal
- –
- b oldal
- –
- d átmérő / átló
- –
- m magasság
- –
- k középvonal
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet három egyenértékű alakja
Mindhárom ugyanazt a számot adja – csak a lépések sorrendje más. Az elsőnél előbb felezel, aztán szorzol; a másodiknál előbb szorzol, aztán felezel; a harmadikban a felezés már megtörtént, mert a középvonal épp a két alap átlaga.
A jelölések – ne tévesszen meg a betű
A képlet ugyanaz, a betűk viszont tankönyvenként eltérnek. Ez okozza a legtöbb félreértést, ezért érdemes látni az összes szokásos változatot:
| Ahogy leírják | Mit jelentenek a betűk |
|---|---|
| T = a + c2 · m | Magyar iskolai alap: a és c a párhuzamos oldalak, b és d a szárak. |
| T = a + b2 · m | Ha a két alapot a-val és b-vel jelölik; ilyenkor a szárak c és d. |
| T = (A + a) · m2 | Nagybetűvel az alsó alap, kisbetűvel a fedőlap – gyakori a szakmai táblázatokban. |
| T = k · m | A k a középvonal, vagyis a két alap átlaga. |
Behelyettesítés lépésről lépésre
Kidolgozott példa · a = 18 cm, c = 12 cm, m = 7 cm
Helyettesíts be a képletbe, és számold ki a területet.
- Írd fel a képletet:T = a + c2 · m
- Helyettesítsd be a számokat mértékegység nélkül, de azonos egységben:T = 18 + 122 · 7
- Végezd el a zárójelben lévő összeadást és a felezést:T = 302 · 7 = 15 · 7
- Az utolsó szorzás:T = 105 cm2
EredményT = 105 cm²
A képlet átrendezései
A feladatok fele fordítva kérdez: a területet adják meg, és valamelyik adatot keresik. Mindegyik átrendezés ugyanabból az egy képletből jön.
Kidolgozott példa · Hiányzó alap: T = 72 cm², m = 6 cm, a = 14 cm
Mekkora a másik párhuzamos oldal?
- Indulj a két alap összegéből:a + c = 2 · Tm = 2 · 726 = 1446 = 24 cm
- Ebből vond ki az ismert alapot:c = 24 − 14 = 10 cm
- Ellenőrzés visszafelé:T = 14 + 102 · 6 = 12 · 6 = 72 cm2
Eredményc = 10 cm
Mértékegységek a képletben
A képlet csak akkor működik, ha mindhárom hossz azonos egységben van. Ha kevert adatokat kapsz, a behelyettesítés előtt válts át – utólag már nehéz javítani.
Kidolgozott példa · Kevert egységek: a = 1,2 m, c = 80 cm, m = 50 cm
Mekkora a trapéz területe négyzetméterben?
- Válts át mindent centiméterre:a = 1,2 m = 120 cm
- Most jöhet a képlet:T = 120 + 802 · 50 = 100 · 50
- Az eredmény centiméter-négyzetben:T = 5000 cm2
- Váltás négyzetméterre – 1 m² = 10 000 cm²:T = 500010000 = 0,5 m2
EredményT = 5000 cm² = 0,5 m²
A képlet mögötti geometriai levezetés, a trapéztípusok és a magasság kiszámolása a trapéz területe oldalon van. Ha konkrét típussal dolgozol, nézd meg a derékszögű trapéz vagy az egyenlő szárú trapéz oldalt.
Gyors önellenőrzés
Egy trapéz párhuzamos oldalai 7 cm és 3 cm, magassága 9 cm. Mekkora a területe?
Egy trapéz középvonala 9 cm, magassága 4 cm. Mekkora a területe?
Mi lesz a képletből, ha a = c?
Gyakori kérdések
Mi a trapéz területének képlete?
T = a + c2 · m, ahol a és c a két párhuzamos oldal, m a magasság. Ugyanez egy törtben: T = (a + c) · m2, a középvonallal pedig T = k · m.
Miért osztunk kettővel a képletben?
Mert két egyforma trapézból pontosan egy (a + c) alapú paralelogramma rakható össze. Annak a területe (a + c) · m, ennek a fele az egy trapéz. Másik olvasat: a két alap átlagával számolsz, mintha téglalap lenne.
A szárakat is be kell írni a képletbe?
Nem. A területbe csak a két párhuzamos oldal és a magasság kerül. A szárak akkor kellenek, ha a magasságot neked kell kiszámolnod belőlük, vagy ha a kerület a kérdés.
Hogyan rendezem át a képletet a magasságra?
Szorozd meg mindkét oldalt kettővel, majd oszd el (a + c)-vel: m = 2 · Ta + c. A hiányzó alapra ugyanígy: c = 2 · Tm − a.
Mit csináljak, ha az adatok más-más mértékegységben vannak?
A behelyettesítés előtt válts át mindent ugyanarra az egységre. 1,2 m és 80 cm esetén például dolgozz centiméterben (120 cm és 80 cm), a végén pedig ha kell, váltsd a területet m²-re: 1 m² = 10 000 cm².