Tételek
Háromszög és arányosság
A háromszögben nem véletlenül bukkannak fel arányok: egy párhuzamos vonal, egy szögfelező vagy egy súlyvonal mindig ugyanolyan törvény szerint osztja fel az oldalakat.
Röviden a válasz
A háromszögben az arányosság alaptétele a párhuzamos szelők tétele: ha az egyik oldallal párhuzamos egyenest húzol, az a másik két oldalt azonos arányban osztja fel. Ha a párhuzamos a BC oldallal párhuzamos, és az AB-t D-ben, az AC-t E-ben metszi, akkor ADDB = AEEC.
Ugyanez a gondolat adja a középvonal tételét (fele akkora és párhuzamos), a szögfelező tételét (a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja) és a súlypont 2 : 1 arányát. Mindegyik mögött a hasonlóság áll.
A párhuzamos szelők tétele
Húzz a háromszög egyik oldalával párhuzamos egyenest úgy, hogy a másik két oldalt messe. A levágott kis háromszög szögei megegyeznek az eredetiével (egyállású szögek), tehát a két háromszög hasonló – és innen jön minden arány.
Kidolgozott példa · AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 6 cm, BC = 15 cm
A DE szakasz párhuzamos a BC oldallal. Mekkora az EC szakasz és a DE szakasz?
- A darabok arányából:46 = 6EC
- Keresztbe szorozva:EC = 6 · 64 = 9 cm
- A DE hosszához a teljes oldalakkal számolunk. Az AB oldal:AB = 4 + 6 = 10 cm
- A hasonlósági arány tehát:ADAB = 410 = 0,4
- Ezzel a DE szakasz:DE = 0,4 · 15 = 6 cm
EredményEC = 9 cm és DE = 6 cm. Ellenőrzés: AEAC = 615 = 0,4 – ugyanaz az arány.
A középvonal: a legismertebb arány
Ha a párhuzamos épp a felezőpontokon megy át, a párhuzamos szelők tételének legegyszerűbb esetét kapod. Az így keletkező szakasz a középvonal.
A három középvonal a háromszöget négy egybevágó kis háromszögre bontja, amelyek mind hasonlóak az eredetihez. A középvonalakról részletesen a háromszög középvonala oldalon olvashatsz.
A szögfelező arányos osztása
A belső szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre. Ez az arányosság egyik legszebb tétele, mert semmilyen párhuzamos nincs benne, mégis ugyanabból a hasonlóságból ered.
Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 8 cm, c = 6 cm
Az A csúcs szögfelezője milyen darabokra vágja a BC oldalt?
- Az osztás aránya a szomszédos oldalak aránya:BPPC = cb = 68 = 34
- A 7 cm-es oldalt kell 3 : 4 arányban felosztani, tehát 7 egységnyi rész van:k = 73 + 4 = 1 cm
- A két darab:BP = 3 · 1 = 3 cm, PC = 4 · 1 = 4 cm
EredményBP = 3 cm és PC = 4 cm. A rövidebb darab a rövidebb oldal (c = 6 cm) felőli végén keletkezik.
A súlypont 2 : 1 aránya
A harmadik nevezetes arány a súlyvonalakon jelenik meg: a három súlyvonal egy pontban metszi egymást, és ez a pont mindegyiket a csúcstól számítva 2 : 1 arányban osztja.
Ha például egy súlyvonal 12 cm hosszú, a csúcstól a súlypontig 8 cm, onnan az oldal felezőpontjáig 4 cm a távolság. A bizonyítás itt is középvonalon és hasonlóságon alapul – bővebben a háromszög súlypontja oldalon.
| Tétel | Mit oszt | Milyen arányban |
|---|---|---|
| Párhuzamos szelők tétele | Két oldalt | Egymással azonos arányban |
| Középvonal-tétel | Két oldalt | Felezve, a szakasz a harmadik oldal fele |
| Szögfelező-tétel | A szemközti oldalt | A szomszédos oldalak arányában |
| Súlypont | A súlyvonalat | 2 : 1 arányban a csúcstól |
Gyors önellenőrzés
Egy háromszögben a BC oldallal párhuzamos szelő az AB oldalt 3 cm és 9 cm hosszú darabokra osztja. Az AC oldal 20 cm. Milyen darabokra osztja azt?
Egy háromszög két oldala 10 cm és 15 cm, a köztük lévő szög szögfelezője a szemközti, 20 cm-es oldalt vágja el. Mekkorák a darabok?
Milyen messze van a súlypont az oldal felezőpontjától, ha a súlyvonal 18 cm?
Gyakori kérdések
Mit mond ki a párhuzamos szelők tétele a háromszögben?
Azt, hogy az egyik oldallal párhuzamos egyenes a másik két oldalt azonos arányban osztja: ADDB = AEEC. A levágott háromszög hasonló az eredetihez, ezért a párhuzamos szakasz hossza is arányos a szemközti oldallal.
Hogyan osztja a szögfelező a szemközti oldalt?
A szomszédos oldalak arányában. Ha az A csúcs szögfelezője a BC oldalt P-ben metszi, akkor BPPC = ABAC. Például 6 cm és 8 cm oldalak mellett a 7 cm-es oldal 3 cm és 4 cm hosszú darabokra oszlik.
Milyen arányban osztja a súlypont a súlyvonalat?
A csúcstól számítva 2 : 1 arányban: a súlypont a súlyvonal kétharmadánál van. Egy 12 cm-es súlyvonalnál ez 8 cm-t és 4 cm-t jelent.
Mi a kapcsolat az arányosság és a hasonlóság között?
Minden arányossági tétel hasonló háromszögekből következik. A párhuzamos vonal például azért oszt arányosan, mert a levágott háromszög szögei megegyeznek az eredetiéivel – ez a hasonlóság AA alapesete.
A területek is arányosak a háromszögben?
Igen, de nem ugyanúgy. Közös magasságú háromszögek területe az alapok arányában áll, hasonló háromszögek területe viszont a hasonlósági arány négyzetével skálázódik.