Oldalak kiszámítása
Derékszögű háromszög oldalai
Mielőtt számolni kezdenél, tudnod kell, melyik oldal micsoda. Ez az oldal a nevekről, a jelölésről és az oldalak közti kapcsolatokról szól.
Röviden a válasz
A derékszögű háromszögnek két befogója és egy átfogója van. A befogók zárják be a derékszöget, az átfogó pedig a derékszöggel szemközti, egyben leghosszabb oldal.
A szokásos jelölés szerint a derékszög a C csúcsnál van, ezért a befogók a és b, az átfogó c. A három oldalt a Pitagorasz-tétel köti össze: a2 + b2 = c2.
Derékszögű háromszög oldalai kalkulátor
Két adatból az összes oldalt megkapod – a mezőkben most a 6 és 8 cm-es befogók vannak.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A három oldal neve és jelölése
- Befogók: a derékszöget közrefogó két oldal, jelük a és b. Egyben egymás magasságai is, mert merőlegesek egymásra.
- Átfogó: a derékszöggel szemközti oldal, jele c. Ez a leghosszabb oldal, és ez a köré írt kör átmérője.
- A csúcsok jelölése az oldalakhoz igazodik: az a oldallal szemben az A csúcs áll, a derékszög pedig a C csúcsnál van.
Milyen sorrendben állnak az oldalak?
A háromszögben nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal áll. Mivel a derékszög a legnagyobb szög, az átfogó a leghosszabb oldal. A két befogó közül pedig az a hosszabb, amelyik a nagyobb hegyesszöggel néz szembe.
Kidolgozott példa · Befogók: 6 cm és 8 cm
Mekkora az átfogó, a kerület és a terület?
- Az átfogó a Pitagorasz-tételből:c = √62 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10 cm
- A kerület a három oldal összege:K = 6 + 8 + 10 = 24 cm
- A terület a két befogóból:T = 6 · 82 = 24 cm2
- Sorrend-ellenőrzés:6 < 8 < 10 < 6 + 8
Eredményc = 10 cm, K = 24 cm, T = 24 cm².
Visszatérő oldalhármasok
A feladatok szeretik azokat az oldalhármasokat, amelyekben mindhárom szám egész. Ha felismered őket, gyökvonás nélkül megvan az eredmény:
| Befogók | Átfogó | Ellenőrzés |
|---|---|---|
| 3 és 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 6 és 8 | 10 | 36 + 64 = 100 |
| 5 és 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 és 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 és 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 és 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
Minden hármas többszöröse is jó: a 3 – 4 – 5 nagyítása a 6 – 8 – 10 és a 9 – 12 – 15. A hármasokon belüli arányokról a derékszögű háromszög oldalainak aránya oldalon írunk bővebben.
Két háromszögnél nem is kell számhármas, mert az oldalak aránya rögzített: a 45°-os hegyesszögűnél (egyenlő szárú derékszögű) 1 : 1 : √2, a 30°–60°-osnál pedig 1 : √3 : 2. Utóbbi a szabályos háromszög fele.
Mennyi adatból számolható ki a többi oldal?
A derékszög maga is adat, ezért két további adat elég: két oldal, vagy egy oldal és egy hegyesszög. Egyetlen oldalból nem megy – ahhoz végtelen sok különböző derékszögű háromszög tartozik.
- két befogó → az átfogó Pitagorasz-tétellel,
- átfogó és befogó → a másik befogó kivonással: √c2 − a2,
- oldal és hegyesszög → a többi oldal szinusszal, koszinusszal, tangenssel,
- terület és egy befogó → a másik befogó a T = a · b2 képletből.
A konkrét számolásokat a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldalon vezetjük végig, a hiányzó befogó eseteit pedig a befogó kiszámítása oldalon.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög oldalai 15, 8 és 17 cm. Melyik az átfogó?
Lehet-e derékszögű az a háromszög, amelynek oldalai 4, 6 és 8 cm?
Melyik befogó a hosszabb, ha az egyik hegyesszög 25°?
Gyakori kérdések
Hogy hívják a derékszögű háromszög oldalait?
A derékszöget közrefogó két oldal a befogó, a derékszöggel szemközti oldal az átfogó. A szokásos jelölésben a befogók a és b, az átfogó c, mert a derékszög a C csúcsnál van.
Melyik a derékszögű háromszög leghosszabb oldala?
Mindig az átfogó, mert a legnagyobb szöggel – a derékszöggel – néz szembe. Ugyanakkor rövidebb a két befogó összegénél, ezt a háromszög-egyenlőtlenség mondja ki.
Milyen összefüggés van a derékszögű háromszög oldalai között?
A Pitagorasz-tétel: a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével, azaz a2 + b2 = c2. Ez a tétel csak derékszögű háromszögre érvényes.
Hány adat kell a derékszögű háromszög oldalainak megadásához?
Kettő. Lehet két oldal, vagy egy oldal és egy hegyesszög – a derékszög számít a harmadik adatnak. Egyetlen oldal önmagában nem határozza meg a háromszöget.
Honnan tudom, hogy egy háromszög derékszögű-e az oldalaiból?
Emeld négyzetre mindhárom oldalt. Ha a két kisebb négyzet összege pontosan a legnagyobbat adja, a háromszög derékszögű – ez a Pitagorasz-tétel megfordítása.