Kerület
Kerület számítás – háromszög hiányzó oldalakkal
Amikor a feladat szögeket, koordinátákat vagy csak két oldalt ad meg, a kerülethez előbb ki kell számolni a hiányzó oldalt. Itt a három leggyakoribb ilyen eset van végigvezetve.
Röviden a válasz
A kerület képlete itt is K = a + b + c – a munka a hiányzó oldal pótlása. Két oldal és a köztük lévő szög esetén koszinusztétel kell, derékszögűnél szögfüggvény, koordinátákkal megadott csúcsoknál a távolságképlet.
Például a = 7 cm, b = 8 cm és γ = 60° mellett c = √49 + 64 − 56 = 7,55 cm, tehát K = 22,55 cm.
Kerület két oldalból és a közbezárt szögből
A harmadik oldalt a kalkulátor koszinusztétellel pótolja, és rögtön kiírja a kerületet is.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mikor nem elég az összeadás?
A kerület mindig a három oldal összege. A közép- és emelt szintű feladatok viszont ritkán adják meg mind a hármat: kapsz két oldalt és egy szöget, csak szögeket és egy oldalt, vagy a csúcsok koordinátáit. Ilyenkor a kerület második lépés – előbb oldalt kell számolni.
| Amit megadnak | Eszköz | Képlet |
|---|---|---|
| két oldal + közbezárt szög | koszinusztétel | c = √a2 + b2 − 2ab · cos γ |
| derékszögű, oldal + hegyesszög | szögfüggvény | a = c · sin α, b = c · cos α |
| egy oldal + két szög | szinusztétel | asin α = bsin β |
| a csúcsok koordinátái | távolságképlet | d = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2 |
1. Két oldal és a közbezárt szög – koszinusztétel
A koszinusztétel a Pitagorasz-tétel általánosítása: a 2ab · cos γ tag pontosan azt a korrekciót adja, ami akkor kell, ha a szög nem 90°. Derékszögnél cos 90° = 0, és visszakapod a megszokott alakot.
Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 8 cm, γ = 60°
Mekkora a háromszög kerülete?
- Koszinusztétel a hiányzó oldalra:c2 = 72 + 82 − 2 · 7 · 8 · cos 60°
- Mivel cos 60° = 0,5:c2 = 49 + 64 − 56 = 57
- Gyökvonás:c = √57 = 7,55 cm
- A kerület:K = 7 + 8 + 7,55 = 22,55 cm
EredményK = 22,55 cm
2. Derékszögű háromszög egy oldalból és egy szögből
A nevezetes 30°–60°–90°-os háromszögben nem is kell számológép: a 30°-os szöggel szemközti befogó pont az átfogó fele, a másik befogó pedig ennek a √3-szorosa.
Kidolgozott példa · Átfogó: 12 cm, α = 30°
Mekkora a kerület?
- A 30°-kal szemközti befogó az átfogó fele:a = 12 · sin 30° = 12 · 0,5 = 6 cm
- A másik befogó:b = 12 · cos 30° = 12 · 0,866 = 10,39 cm
- A kerület:K = 6 + 10,39 + 12 = 28,39 cm
EredményK = 28,39 cm
3. Kerület a csúcsok koordinátáiból
Ha a háromszög csúcsai koordinátákkal adottak, mindhárom oldal a két pont távolsága. Ez a Pitagorasz-tétel átírása: a vízszintes és a függőleges eltérés a két befogó.
Kidolgozott példa · A(1; 2), B(9; 2), C(9; 8)
Mekkora a háromszög kerülete?
- Az AB oldal vízszintes, így a különbség elég:AB = 9 − 1 = 8 egység
- A BC oldal függőleges:BC = 8 − 2 = 6 egység
- A CA oldal ferde, itt kell a távolságképlet:CA = √(9-1)2 + (8-2)2 = √64 + 36 = 10 egység
- A kerület:K = 8 + 6 + 10 = 24 egység
EredményK = 24 egység
Kerekítés: hol veszíted el a pontokat?
- A hiányzó oldalt ne kerekítsd korán. Számolj legalább négy tizedesjeggyel, és csak a végeredményt kerekítsd két tizedesre.
- A szögfüggvényeknél ellenőrizd, hogy a számológép fok üzemmódban van-e (DEG), nem radiánban.
- A koszinusztételnél a cos γ tompaszögnél negatív, ilyenkor a kivonásból összeadás lesz – ez helyes, ekkor lesz a szemközti oldal a leghosszabb.
- A végeredmény mellé mindig írd oda a mértékegységet; koordinátás feladatnál az „egység” is elfogadott.
Ha a feladat az alapoktól indul, a lépésenkénti menetet a háromszög kerület számítás oldalon találod, a képletek gyűjteményét pedig a háromszög kerülete képlet oldalon.
Gyors önellenőrzés
Két oldal 5 cm és 6 cm, a közbezárt szög 90°. Mekkora a kerület?
Egy derékszögű háromszög átfogója 20 cm, egyik hegyesszöge 60°. Mekkora a kerület?
Mekkora a P(0; 0), Q(0; 5) és R(12; 0) csúcsú háromszög kerülete?
Gyakori kérdések
Hogyan számolok kerületet, ha csak két oldalt és egy szöget ismerek?
Ha a szög a két oldal között van, koszinusztétellel pótold a harmadik oldalt: c = √a2 + b2 − 2ab · cos γ, majd add össze a hármat. 7 cm, 8 cm és 60° esetén a kerület 22,55 cm.
Mi a teendő derékszögű háromszögnél, ha csak egy oldal és egy szög adott?
Használj szögfüggvényt: a szemközti befogó c · sin α, a szög melletti c · cos α. 12 cm átfogó és 30° mellett a kerület 28,39 cm.
Hogyan kapom meg a kerületet a csúcsok koordinátáiból?
Számold ki mindhárom oldalt a d = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2 távolságképlettel, majd add össze őket. Az A(1; 2), B(9; 2), C(9; 8) háromszög kerülete 24 egység.
Használható a Pitagorasz-tétel bármelyik háromszögre?
Nem, csak derékszögűre. Általános háromszögben a koszinusztétel a megfelelője, amely a -2ab · cos γ taggal korrigál. Derékszögnél ez a tag nulla lesz.
Mennyire kerekítsem a részeredményeket?
A hiányzó oldalt legalább négy tizedesjegyre számold, és csak a kerületet kerekítsd két tizedesre. A korai kerekítés több oldal összeadásakor tizedekben is elcsúsztathatja az eredményt.