Nevezetes vonalak és pontok
Háromszög köré írható kör szerkesztése
Ez az oldal a rajzolásról szól: hogyan találod meg körzővel és vonalzóval a középpontot, mekkorára állítsd a körzőt, és mivel ellenőrizd, hogy jól dolgoztál.
Röviden a válasz
A háromszög köré írható köre a három csúcson átmenő kör. Megszerkesztéséhez elég két oldal felezőmerőlegesét megrajzolni: ahol metszik egymást, ott van a kör középpontja. A körzőt onnan bármelyik csúcsig kinyitva megkapod a sugarat.
A harmadik felezőmerőleges automatikusan átmegy ugyanezen a ponton – ezért csak ellenőrzésre érdemes megrajzolni.
Mekkorára állítsd a körzőt?
Írd be a háromszög három oldalát, és megkapod a köré írható kör sugarát – ezzel a szerkesztés végén lemérheted, jól dolgoztál-e.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az alapötlet egy mondatban
A kör középpontjának mindhárom csúcstól ugyanolyan messze kell lennie. Azok a pontok, amelyek két csúcstól egyenlő távolságra vannak, éppen az őket összekötő szakasz felezőmerőlegesét adják ki. Ezért keressük két felezőmerőleges metszéspontját – ez a pont már mindhárom csúcstól egyenlő távolságra van.
A szerkesztés lépésről lépésre
Köré írható kör szerkesztése körzővel és vonalzóval
- Rajzold meg a háromszögetHa adottak az oldalak, a szokásos módon szerkeszd meg: rajzold fel a leghosszabb oldalt, majd a két végpontból körívekkel metszd ki a harmadik csúcsot.
- Az első oldal felezőmerőlegeseSzúrd a körzőt az egyik oldal egyik végpontjába, és nyisd ki az oldalhossz felénél nagyobbra. Rajzolj körívet az oldal fölé és alá is, majd ugyanezzel a nyílással ismételd meg a másik végpontból. A két körív két pontban metszi egymást.
- Húzd meg az egyenestKösd össze vonalzóval a két metszéspontot – ez az oldal felezőmerőlegese. Merőleges az oldalra, és pontosan a felezőpontján megy át.
- A második oldal felezőmerőlegeseVégezd el ugyanezt egy másik oldallal is. A két egyenes metszéspontja a köré írható kör O középpontja.
- Rajzold meg a körtSzúrd a körzőt az O pontba, nyisd ki bármelyik csúcsig, és fordítsd körbe. A körnek mind a három csúcson át kell mennie.
Ellenőrzés számolással
A megszerkesztett sugarat érdemes kiszámolni is. Ha a mért és a számolt érték egy-két tizedmilliméteren belül egyezik, jól dolgoztál. A képlet három oldalból:
Kidolgozott példa · Egyenlő szárú háromszög: alap 6 cm, szárak 5 cm
Mekkora sugárral kell körbe rajzolni a kört?
- Az alaphoz tartozó magasság Pitagorasz-tétellel (a magasság felezi a 6 cm-es alapot):m = √52 − 32 = √16 = 4 cm
- A terület:T = 6 · 42 = 12 cm2
- A sugár:R = 6 · 5 · 54 · 12 = 15048
- Elosztva:R = 3,125 cm
EredményR = 3,125 cm, vagyis kb. 3,1 cm-re kell nyitni a körzőt.
Figyeld meg, hogy a sugár nagyobb, mint a magasság fele, de kisebb, mint a szár. Ez általános szabály: a köré írható kör sugara sosem kisebb a leghosszabb oldal felénél – derékszögű háromszögben pontosan annyi, minden más esetben nagyobb. Más képletekért és a levezetésekért nézd meg a háromszög köré írható kör sugara oldalt.
Amit szerkesztés közben jó tudni
| Kérdés | Válasz |
|---|---|
| Hány felezőmerőleges kell? | Kettő elég, a harmadik csak ellenőrzés. |
| Hol lesz a középpont? | Hegyesszögűnél belül, derékszögűnél az átfogó felezőpontjában, tompaszögűnél kívül. |
| Mekkora legyen a körzőnyílás az ívekhez? | Nagyobb, mint az oldal fele – különben nem metszik egymást az ívek. |
| Mivel ellenőrzöm a kész kört? | Mind a három csúcsnak rajta kell lennie a körvonalon. |
A szerkesztés elméleti hátterét – hogy miért létezik ez a kör minden háromszögnél, és miért csak egy – a háromszög köré írható kör oldal magyarázza el.
Gyors önellenőrzés
Mit szerkesztesz meg először: szögfelezőt vagy oldalfelező merőlegest?
Mit csinálsz, ha a két körív nem metszi egymást?
Egy háromszög oldalai 5, 5 és 6 cm. Rajta lesz-e a középpont a háromszögön belül?
Gyakori kérdések
Hogyan szerkesztem meg a háromszög köré írható körét?
Rajzold meg két oldal felezőmerőlegesét körzővel, keresd meg a metszéspontjukat, majd innen bármelyik csúcsig kinyitva a körzőt rajzold meg a kört.
Miért elég két oldalfelező merőleges?
Mert a metszéspontjuk már mindhárom csúcstól egyenlő távolságra van, tehát rajta van a harmadik felezőmerőlegesen is. A harmadikat csak ellenőrzésre érdemes megrajzolni.
Mekkorára állítsam a körzőt a felezőmerőleges szerkesztésekor?
Az oldalhossz felénél nagyobbra, és a két végpontból ugyanakkorára. Ha kisebb a nyílás, a körívek nem metszik egymást.
Hogyan ellenőrzöm, hogy jó lett-e a szerkesztés?
A kész körnek mind a három csúcson át kell mennie. Ezenkívül kiszámolhatod a sugarat az R = a · b · c4 · T képlettel, és összevetheted a lemért értékkel.
Mi a különbség a köré írható és a beírt kör szerkesztése között?
A köré írható körhöz oldalfelező merőlegeseket szerkesztesz, és a kör a csúcsokon megy át. A beírt körhöz szögfelezőket, és az a kör az oldalakat érinti belülről.