Szögszámítás
A háromszög szögeivel kapcsolatos összefüggések
Hét összefüggés, amiből az összes szögfeladat megoldható. Mindegyikhez odaírjuk, mire jó, és hol szokás elrontani.
Röviden a válasz
A háromszög szögeit hét összefüggés köti meg: a belső szögek összege 180°, a külsőké 360°, egy külső szög a két nem mellette fekvő belső szög összege, nagyobb oldallal nagyobb szög áll szemben, egyenlő oldalakkal egyenlő szögek, és a szög–oldal kapcsolatot a szinusz- meg a koszinusztétel írja le.
Ezek közül a 180° és a szög–oldal sorrend minden feladatban használható ellenőrzésre, a két trigonometrikus tétel pedig konkrét számításra.
Háromszög-kalkulátor szögekhez
Három adatból az összes szög és oldal – jó az összefüggések kipróbálására is.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az összefüggések egy táblázatban
| Összefüggés | Alak | Mikor használod |
|---|---|---|
| Belsőszög-összeg | α + β + γ = 180° | hiányzó szög, ellenőrzés |
| Külsőszög-összeg | α' + β' + γ' = 360° | sokszögfeladatok |
| Külső szög tétele | γ' = α + β | szög gyors megkerülése |
| Szög–oldal sorrend | nagyobb oldal ↔ nagyobb szög | ellenőrzés, becslés |
| Egyenlő szárúság | b = c <→ β = γ | egyenlő szárú feladatok |
| Szinusztétel | asin α = bsin β = 2R | oldal–szög pár ismert |
| Koszinusztétel | c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ | három oldal vagy SAS |
1–2. A szögösszegek
A belső szögek összege 180° – ez az alaptétel, minden más innen származik. Mivel minden csúcsnál a belső és a külső szög együtt 180°, a három csúcson összesen 540° van, amiből a belsők 180°-ot visznek el: a külső szögek összege ezért 360°.
3. A külső szög tétele
Egy külső szög akkora, mint a két nem mellette fekvő belső szög összege. A bizonyítás egy sor: a C csúcsnál γ' = 180° − γ, viszont α + β = 180° − γ is igaz, tehát a kettő egyenlő.
Kidolgozott példa · α = 52°, β = 61°
Mekkora a C csúcsnál lévő külső szög?
- A külső szög tétele szerint egyenesen összeadhatod a két távoli belső szöget:γ' = α + β = 52° + 61° = 113°
- Ellenőrzés a kerülőúton – előbb a belső szög:γ = 180° − 52° − 61° = 67°
- Majd a mellékszöge:γ' = 180° − 67° = 113°
EredményA külső szög 113° – a tétellel egy lépésben, nélküle kettőben.
4–5. Szögek és oldalak sorrendje
A háromszögben a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, és ez oda-vissza igaz. Ennek határesete az egyenlő szárú háromszög: ha két oldal egyenlő, akkor a velük szemközti két szög is egyenlő – és fordítva, két egyenlő szögből következik, hogy a háromszög egyenlő szárú.
6–7. Szinusz- és koszinusztétel: a szög és az oldal kapcsolata
A fenti tételek csak sorrendet és összeget adnak. Ha konkrét fokot akarsz oldalakból, a két trigonometrikus tétel kell. A koszinusztétel három oldalból ad szöget, a szinusztétel pedig oldal–szög párokat kapcsol össze.
Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 8 cm, c = 13 cm
Mekkora a leghosszabb oldallal szemközti γ szög?
- Koszinusztétel a γ szögre:cos γ = a2 + b2 − c22 · a · b
- Behelyettesítve:cos γ = 49 + 64 − 1692 · 7 · 8 = -56112
- A hányados:cos γ = -0,5
- A koszinusz negatív, tehát tompaszög:γ = 120°
Eredményγ = 120° – a háromszög tompaszögű.
Bónusz: a kerületi szögek és a Thalész-tétel
A háromszög szögei a köré írt körrel is összefüggenek. A szinusztétel 2R-es alakja épp ezt mondja ki: adott oldalhoz tartozó szemközti szög és a kör sugara egymást meghatározzák. Ennek nevezetes esete a Thalész-tétel: ha a háromszög egyik oldala a köré írt kör átmérője, akkor a vele szemközti szög 90°.
Ez fordítva is működik: minden derékszögű háromszög köré írt körének középpontja az átfogó felezőpontja, sugara pedig az átfogó fele. Így a szögből következtetsz hosszra – erről a köré írt kör sugara oldalon van bővebben.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög két belső szöge 48° és 39°. Mekkora a harmadik csúcsnál a külső szög?
Egy háromszög oldalai 5, 6 és 10 egység. Tompaszögű-e?
Egy háromszögben β = γ. Mit mondhatsz az oldalakról?
Gyakori kérdések
Milyen összefüggések vonatkoznak a háromszög szögeire?
A belső szögek összege 180°, a külsőké 360°, egy külső szög a két nem mellette fekvő belső szög összege, nagyobb oldallal nagyobb szög áll szemben, egyenlő oldalakkal egyenlő szögek, a szög és az oldal számszerű kapcsolatát pedig a szinusz- és a koszinusztétel adja meg.
Mit mond ki a külső szög tétele?
Azt, hogy a háromszög bármely külső szöge egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével. Például 52° és 61° belső szögek esetén a harmadik csúcsnál a külső szög 113°.
Mikor használjak koszinusztételt szögszámításnál?
Ha mindhárom oldalt ismered, vagy két oldalt és a közbezárt szöget. A koszinusztétel előnye, hogy az eredmény előjele egyértelműen eldönti, hegyes- vagy tompaszögről van szó.
Miért adhat a szinusztétel két megoldást?
Mert egy szinuszértékhez két szög tartozik 0° és 180° között: egy hegyes- és egy tompaszög. Ilyenkor a többi adatból – például a szög–oldal sorrendből – kell eldönteni, melyik illik a háromszöghöz.
Hogyan függ össze a szögek és az oldalak nagysága?
A nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, a kisebbel szemben kisebb. Egyenlőség esetén a szögek is egyenlők – ez az egyenlő szárú háromszög alaptulajdonsága.