Hiányos másodfokú egyenlet – megoldás képlet nélkül

Ellenőrzés kalkulátorral

Hiányos egyenletnél írj 0-t a hiányzó együttható helyére – itt most b = 0.

azonnal számol

Az ax² + bx + c = 0 alakú egyenlet együtthatói. Az a nem lehet nulla.

Példa:

Diszkrimináns D: –
x₁ gyök: –
x₂ gyök: –
Csúcspont x: –
Csúcspont y: –
Gyökök összege: –
Gyökök szorzata: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

A három hiányos típus

Melyik tag hiányzik, és mit kell tenni
Alak	Mi hiányzik	Megoldás módja	Gyökök száma
a · x² + c = 0	az elsőfokú tag (b = 0)	rendezés, majd gyökvonás	2 vagy 0
a · x² + b · x = 0	a konstans tag (c = 0)	kiemelés, nullszorzat-szabály	mindig 2
a · x² = 0	mindkettő	osztás a-val	1 (kétszeres)

Első típus: ax² + c = 0 – gyökvonás

Vidd át a konstans tagot a másik oldalra, oszd el a-val, végül vonj gyököt. A gyökvonásnál két megoldás keletkezik, a + és a - előjelű is.

Kidolgozott példa · 3x² − 27 = 0

Oldd meg gyökvonással!

A konstans tag átvitele:3x² = 27
Osztás 3-mal:x² = 9
Gyökvonás – két előjellel:x = ±3
Ellenőrzés a negatív gyökkel:3 · (-3)² − 27 = 27 − 27 = 0

Eredményx₁ = 3 és x₂ = -3

Kidolgozott példa · 4x² − 9 = 0

Itt a gyök nem egész szám – a menet ugyanaz.

Rendezés:4x² = 9
Osztás 4-gyel:x² = 94
Gyökvonás:x = ± 32 = ±1,5

Eredményx₁ = 1,5 és x₂ = -1,5

Ha a rendezés után negatív szám marad a jobb oldalon, nincs valós megoldás. Az x² + 16 = 0 egyenletből x² = -16 következik, ilyen valós szám pedig nincs – ez ugyanaz, mintha a diszkrimináns negatív lenne.

A b = 0 eset parabolája szimmetrikus az y tengelyre, ezért a két gyök egymás ellentettje.

Második típus: ax² + bx = 0 – kiemelés

Itt mindkét tagban szerepel az x, tehát kiemelhető. A szorzat pedig pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

Kidolgozott példa · 2x² + 5x = 0

Oldd meg kiemeléssel!

Emeljük ki az x-et:x · (2x + 5) = 0
Nullszorzat-szabály – az első tényező:x₁ = 0
A második tényező:2x + 5 = 0 → x₂ = -52 = -2,5
Ellenőrzés:2 · (-2,5)² + 5 · (-2,5) = 12,5 − 12,5 = 0

Eredményx₁ = 0 és x₂ = -2,5

Harmadik típus: ax² = 0

Ez a legegyszerűbb eset: a 7x² = 0 egyenletet 7-tel osztva x² = 0 marad, amiből x = 0. Ez kétszeres gyök, mert a diszkrimináns is nulla: D = 0² − 4 · 7 · 0 = 0.

Mikor éri meg mégis a megoldóképlet?

Ha nem vagy biztos a kiemelésben, vagy ha a feladat kifejezetten kéri a képletet, nyugodtan használd – ugyanazt adja. A 3x² − 27 = 0 esetében b = 0, tehát D = 0 − 4 · 3 · (-27) = 324, és x_1,2 = ±186 = ±3. Csak épp ez négy sor a kettő helyett. A teljes menetet a másodfokú egyenlet oldalon nézheted át.

Gyors önellenőrzés

Hány megoldása van a 5x² + 3x = 0 egyenletnek?

Kettő: kiemelés után x(5x + 3) = 0, tehát x₁ = 0 és x₂ = -0,6. A c = 0 típusnak mindig két gyöke van.

Megoldható-e az x² + 25 = 0 egyenlet?

A valós számok halmazán nem. Rendezés után x² = -25 lenne, negatív szám viszont nem lehet egy valós szám négyzete.

Miért nem hiányos a x² + 10x + 25 = 0 egyenlet, ha egyszer teljes négyzet?

Mert egyik együtthatója sem nulla. A teljes négyzet és a hiányos alak két különböző dolog: az előbbinél a diszkrimináns nulla, az utóbbinál a b vagy a c hiányzik.

Gyakori kérdések

Mi a hiányos másodfokú egyenlet?

Olyan másodfokú egyenlet, amelyben a b vagy a c együttható nulla, tehát hiányzik az elsőfokú vagy a konstans tag. Az a soha nem lehet nulla, mert akkor az egyenlet nem másodfokú.

Hogyan oldom meg a hiányos másodfokú egyenletet?

Ha b = 0, rendezz x² = k alakra és vonj gyököt – ne felejtsd a ± jelet. Ha c = 0, emeld ki az x-et, és a nullszorzat-szabállyal olvasd le a két gyököt.

Miért lesz mindig 0 az egyik gyök, ha c = 0?

Mert az x kiemelhető: x(ax + b) = 0. Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője az – az első tényező pedig maga az x, tehát x = 0 mindig megoldás.

Használhatom a megoldóképletet hiányos egyenletre?

Igen, ugyanazt az eredményt adja, csak lassabb. A hiányzó együttható helyére 0-t kell írni, például x² − 16 = 0 esetén b = 0.

Mikor nincs megoldása a hiányos egyenletnek?

Csak az a x² + c = 0 típusnál, ha rendezés után negatív szám marad az x² oldalán – például x² = -16. A c = 0 típusnak mindig van két megoldása.