Másodfokú egyenlet
Másodfokú egyenlet
Minden másodfokú egyenlet megoldása ugyanaz a három lépés: rendezés nulla alakra, diszkrimináns, megoldóképlet. Itt végigvisszük mindhármat, és megnézzük, mikor van két, egy vagy nulla megoldás.
Röviden a válasz
Másodfokú egyenletnek azt az egyenletet nevezzük, amely a · x2 + b · x + c = 0 alakra hozható, ahol a ≠ 0. A megoldásait a megoldóképlet adja: x1,2 = -b ± √b2 − 4 · a · c2 · a.
A gyök alatti D = b2 − 4 · a · c kifejezés, a diszkrimináns dönti el, hány megoldás van: ha D > 0, két megoldás, ha D = 0, egy (kétszeres) megoldás, ha D < 0, a valós számok között nincs megoldás.
Másodfokú egyenlet megoldó
Írd be az együtthatókat az ax² + bx + c = 0 alakból. A megoldás lépéseit is megmutatjuk.
Az ax² + bx + c = 0 alakú egyenlet együtthatói. Az a nem lehet nulla.
- Diszkrimináns D
- –
- x1 gyök
- –
- x2 gyök
- –
- Csúcspont x
- –
- Csúcspont y
- –
- Gyökök összege
- –
- Gyökök szorzata
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mikor másodfokú egy egyenlet?
Akkor, ha az ismeretlen legmagasabb hatványa a második. Az általános, rendezett alakja:
Az a ≠ 0 kikötés nem formaság: ha a = 0 lenne, eltűnne az x2, és elsőfokú egyenlet maradna. A b és a c viszont lehet nulla – ilyenkor hiányos másodfokú egyenletről beszélünk, és azt sokkal gyorsabban is meg lehet oldani, mint a képlettel.
| Amit a feladat ad | Rendezve | a, b, c |
|---|---|---|
| x2 = 7x − 12 | x2 − 7x + 12 = 0 | 1; −7; 12 |
| x(x + 3) = 40 | x2 + 3x − 40 = 0 | 1; 3; −40 |
| 2x2 − 3 = 5x | 2x2 − 5x − 3 = 0 | 2; −5; −3 |
| 5x2 = 20 | 5x2 − 20 = 0 | 5; 0; −20 |
A megoldás három lépése
Így oldj meg bármilyen másodfokú egyenletet
- 1. Rendezz nulla alakraBonts fel minden zárójelet, vonj össze, és vigyél át mindent az egyik oldalra. A végén olvasd le az a, b, c értékét – az előjelekkel együtt.
- 2. Számold ki a diszkriminánstA D = b2 − 4 · a · c értékéből már látod, hány megoldás lesz. Ha D < 0, itt meg is állhatsz.
- 3. Helyettesíts a megoldóképletbeA x1,2 = -b ± √D2 · a képlet mindkét gyököt megadja. A ± jel miatt kétszer kell elvégezni az osztást.
Kidolgozott példa: x² − 7x + 12 = 0
Kidolgozott példa · a = 1, b = −7, c = 12
Oldd meg a x2 − 7x + 12 = 0 egyenletet!
- Az egyenlet már nulla alakú, leolvassuk az együtthatókat:a = 1, b = -7, c = 12
- Diszkrimináns:D = (-7)2 − 4 · 1 · 12 = 49 − 48 = 1
- Mivel D > 0, két megoldás lesz. Behelyettesítünk:x1,2 = 7 ± √12 · 1 = 7 ± 12
- Az első gyök:x1 = 7 + 12 = 4
- A második gyök:x2 = 7 − 12 = 3
- Ellenőrzés behelyettesítéssel:42 − 7 · 4 + 12 = 16 − 28 + 12 = 0
Eredményx1 = 4 és x2 = 3
Ha az a együttható nem 1
A képlet ugyanaz, csak a nevezőben nem 2, hanem 2a áll, és a -4 · a · c szorzatban is szerepel az a. Semmit nem szabad „egyszerűsíteni” előre.
Kidolgozott példa · a = 2, b = −5, c = −3
Oldd meg a 2x2 − 3 = 5x egyenletet!
- Rendezés nulla alakra – az 5x-et átvisszük:2x2 − 5x − 3 = 0
- Diszkrimináns (figyelj a c = -3 előjelére):D = (-5)2 − 4 · 2 · (-3) = 25 + 24 = 49
- A gyök szép szám, mert 49 négyzetszám:x1,2 = 5 ± 74
- Az első gyök:x1 = 5 + 74 = 3
- A második gyök:x2 = 5 − 74 = -0,5
Eredményx1 = 3 és x2 = -0,5
Hány megoldása van? A diszkrimináns dönt
A D = b2 − 4ac értéke önmagában megmondja a megoldások számát – anélkül, hogy a képletet végig kellene számolnod. Ennek grafikus jelentése is van: az y = ax2 + bx + c parabola hányszor metszi az x tengelyt.
| Diszkrimináns | Megoldások száma | A parabola és az x tengely |
|---|---|---|
| D > 0 | két különböző valós gyök | két pontban metszi |
| D = 0 | egy kétszeres gyök: x = -b2a | érinti (a csúcspontban) |
| D < 0 | nincs valós megoldás | nem metszi |
Ha D < 0, a válasz nem az, hogy „nem tudom megoldani”, hanem hogy a valós számok halmazán nincs megoldás. Ezt le is kell írni a dolgozatba. Részletesen a diszkrimináns oldalán foglalkozunk vele.
Szorzattá alakítás: a gyöktényezős alak
Ha megvan a két gyök, az egyenlet bal oldala szorzattá bontható. Ez a gyöktényezős alak, és nagyon hasznos törtek egyszerűsítésénél:
Az első példánkban: x2 − 7x + 12 = (x − 4)(x − 3). Fordítva is működik: ha felismered a szorzatot, a gyököket képlet nélkül leolvashatod – erről szól a gyöktényezős alak oldala.
Szorzatra bontott egyenlet: a nullszorzat-szabály
Nem minden másodfokú egyenletet kell képlettel megoldani. Ha az egyenlet szorzat alakban van, és a jobb oldalon 0 áll, akkor elég annyi, hogy a szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.
Kidolgozott példa · x(x + 3) = 40
Egy szám és a nála 3-mal nagyobb szám szorzata 40. Melyik ez a szám?
- A jobb oldalon nem 0 áll, ezért itt még nem használható a nullszorzat-szabály. Bontsuk fel és rendezzük:x2 + 3x − 40 = 0
- Diszkrimináns:D = 32 − 4 · 1 · (-40) = 9 + 160 = 169
- A 169 gyöke 13:x1,2 = -3 ± 132
- Az első gyök:x1 = -3 + 132 = 5
- A második gyök:x2 = -3 − 132 = -8
- Ellenőrzés:5 · 8 = 40 és (-8) · (-5) = 40
Eredményx1 = 5 és x2 = -8 – mindkettő jó megoldás.
Hol találkozol vele a geometrián kívül is?
A másodfokú egyenlet a legtöbbször nem önmagában jön, hanem egy szöveges vagy geometriai feladat közepén. Tipikus források:
- Területfeladatok: ha egy téglalap területe adott, és az oldalak között összefüggés van, másodfokú egyenlet lesz belőle.
- A Pitagorasz-tétel alkalmazásai, amikor az ismeretlen oldal négyzete és maga az oldal is szerepel.
- Mozgásos és munkavégzéses feladatok, ahol az idő a nevezőben van, és beszorzás után négyzetes tag keletkezik.
- Függvényvizsgálat: a parabola zérushelyei, tengelymetszetei.
Gyors önellenőrzés
Másodfokú-e a 3x2 − 3x2 + 5x = 1 egyenlet?
Mennyi a D értéke a x2 + 2x + 5 = 0 egyenletben, és mit jelent?
Két gyök összege 7, szorzatuk 12. Mi volt az egyenlet?
Gyakori kérdések
Mi a másodfokú egyenlet képlete?
A megoldóképlet x1,2 = -b ± √b2 − 4 · a · c2 · a. Ezt csak a nulla alakra rendezett a · x2 + b · x + c = 0 egyenletre szabad alkalmazni, és a ≠ 0 kell legyen.
Hogyan oldok meg egy másodfokú egyenletet lépésről lépésre?
Először rendezd nulla alakra és olvasd le az a, b, c értékét előjelesen. Utána számold ki a diszkriminánst (D = b2 − 4ac), végül helyettesíts a megoldóképletbe. A ± miatt két gyököt kapsz, ezeket érdemes visszahelyettesítéssel ellenőrizni.
Miért lehet két megoldása egy másodfokú egyenletnek?
Mert a bal oldal szorzattá bontható: a(x − x1)(x − x2). Egy szorzat kétféleképpen is lehet nulla – ha az első vagy ha a második tényező nulla. Grafikusan ez azt jelenti, hogy a parabola két pontban metszi az x tengelyt.
Mit csináljak, ha a diszkrimináns negatív?
Írd le, hogy a valós számok halmazán nincs megoldás – ez teljes értékű válasz. Negatív számból ugyanis nem lehet valós négyzetgyököt vonni, tehát a képlet nem folytatható tovább.
Mindig a megoldóképletet kell használni?
Nem. Ha b = 0 vagy c = 0, hiányos egyenletről van szó, amit gyökvonással vagy kiemeléssel gyorsabban megoldasz. Ha pedig felismered a szorzattá bontást vagy egy nevezetes azonosságot, azzal is célhoz érsz.
Hányadik osztályban tanuljuk a másodfokú egyenletet?
Jellemzően 9. osztályban kerül elő először, majd 10–12. osztályban bővül paraméteres feladatokkal, gyöktényezős alakkal és a Viète-formulákkal. Érettségin középszinten is rendszeresen szerepel.