Másodfokú egyenlet
A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja
Ha megvannak a gyökök, a másodfokú kifejezés szorzattá bontható. Ez az alak nem díszítés: algebrai törtek egyszerűsítésénél és egyenlőtlenségeknél ez a leggyorsabb út.
Röviden a válasz
Ha az a · x2 + b · x + c kifejezésnek x1 és x2 a gyökei, akkor a gyöktényezős alak: a · x2 + b · x + c = a · (x − x1) · (x − x2). Az a szorzót nem szabad elhagyni.
Ilyen alak csak akkor létezik a valós számok között, ha a diszkrimináns nem negatív. D = 0 esetén a két tényező azonos: a · (x − x1)2.
Gyökök keresése a szorzattá bontáshoz
A gyöktényezős alakhoz először a gyökök kellenek – írd be az együtthatókat.
Az ax² + bx + c = 0 alakú egyenlet együtthatói. Az a nem lehet nulla.
- Diszkrimináns D
- –
- x1 gyök
- –
- x2 gyök
- –
- Csúcspont x
- –
- Csúcspont y
- –
- Gyökök összege
- –
- Gyökök szorzata
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet és a mögötte lévő gondolat
Miért működik? Ha x1 gyök, akkor x = x1 helyettesítéssel az első tényező nulla lesz, tehát a szorzat is – vagyis a jobb oldal ugyanott veszi fel a nullát, ahol a bal. A főegyüttható pedig az a szorzóval marad helyes.
Szorzattá bontás lépésről lépésre
Kidolgozott példa · x² − x − 12
Bontsd szorzattá a kifejezést!
- Keressük meg a gyököket. Diszkrimináns:D = (-1)2 − 4 · 1 · (-12) = 1 + 48 = 49
- Megoldóképlet:x1,2 = 1 ± 72 → x1 = 4, x2 = -3
- Behelyettesítés a gyöktényezős alakba (a = 1):x2 − x − 12 = (x − 4) · (x − (-3))
- A kettős előjelet összevonva:x2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3)
- Ellenőrzés visszaszorzással:(x − 4)(x + 3) = x2 + 3x − 4x − 12 = x2 − x − 12
Eredményx2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3)
Ha az a nem 1 – az együttható nem tűnhet el
Kidolgozott példa · 2x² + 2x − 12
Bontsd szorzattá!
- Emeljük ki a 2-t, hogy egyszerűbb legyen a gyökkeresés:2 · (x2 + x − 6)
- A zárójelben lévő kifejezés gyökei:D = 1 + 24 = 25, x1,2 = -1 ± 52 → x1 = 2, x2 = -3
- Gyöktényezős alak, az a = 2 szorzóval:2x2 + 2x − 12 = 2 · (x − 2)(x + 3)
- Ellenőrzés:2 · (x2 + x − 6) = 2x2 + 2x − 12
Eredmény2x2 + 2x − 12 = 2(x − 2)(x + 3)
Mire jó ez? Algebrai törtek egyszerűsítése
Ez a gyöktényezős alak fő haszna. Ha a számlálót és a nevezőt is szorzattá bontod, a közös tényezők kiesnek – de csak kikötéssel.
Kidolgozott példa · Egyszerűsítsd: (x² − x − 12) / (x² − 16)
Bontsd szorzattá mindkét részt, majd egyszerűsíts!
- Kikötés (a nevező nem lehet nulla):x ≠ 4 és x ≠ -4
- A számláló gyöktényezős alakja:x2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3)
- A nevező nevezetes azonossággal:x2 − 16 = (x − 4)(x + 4)
- Az (x − 4) tényező kiesik:(x − 4)(x + 3)(x − 4)(x + 4) = x + 3x + 4
Eredményx + 3x + 4, ahol x ≠ 4 és x ≠ -4.
A két különleges eset
| Diszkrimináns | Gyöktényezős alak | Példa |
|---|---|---|
| D > 0 | a(x − x1)(x − x2) | x2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3) |
| D = 0 | a(x − x1)2 – teljes négyzet | 9x2 − 6x + 1 = 9(x − 13)2 = (3x − 1)2 |
| D < 0 | nincs valós szorzattá bontás | x2 + x + 1 nem bontható |
A D < 0 eset azt jelenti, hogy a kifejezés minden valós x-re ugyanolyan előjelű. Az x2 + x + 1 például mindig pozitív – ez egyenlőtlenségek megoldásánál használható ki.
Visszafelé: egyenlet felírása a gyökökből
A gyöktényezős alak fordítva is működik. Ha tudod, hogy a gyökök -5 és 2, akkor a = 1 mellett az egyenlet (x + 5)(x − 2) = 0, beszorozva x2 + 3x − 10 = 0.
Ez egyben magyarázat arra is, miért igaz, hogy a gyökök összege -ba, szorzatuk pedig ca: pontosan ezek jönnek ki a zárójelek beszorzásából. A másodfokú egyenlet oldalon ezt ellenőrzésre is használjuk.
Gyors önellenőrzés
Mik a gyökei a 3(x − 7)(x + 1) = 0 egyenletnek?
Miért nem bontható szorzattá az x2 + x + 1 a valós számok között?
Egyszerűsíthető-e az (x − 4)(x + 3)(x + 4) tört?
Gyakori kérdések
Mi a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja?
Az a · x2 + b · x + c = a · (x − x1) · (x − x2) felírás, ahol x1 és x2 az egyenlet gyökei. A gyök ellentettje kerül a zárójelbe, és a főegyütthatót ki kell írni szorzóként.
Hogyan hozom gyöktényezős alakra a kifejezést?
Először old meg az a · x2 + b · x + c = 0 egyenletet a megoldóképlettel, majd írd be a két gyököt a képletbe. Az eredményt mindig szorozd vissza ellenőrzésképpen.
Mikor nincs gyöktényezős alak?
Ha a diszkrimináns negatív, mert akkor nincsenek valós gyökök. A kifejezés ilyenkor a valós számok körében nem bontható két elsőfokú tényező szorzatára.
Miért kell kiírni az a szorzót?
Mert nélküle a szorzat főegyütthatója 1 lenne. A 2x2 + 2x − 12 és az (x − 2)(x + 3) gyökei ugyanazok, de a két kifejezés értéke minden más helyen különbözik.
Mire használom a gyöktényezős alakot?
Algebrai törtek egyszerűsítésére, másodfokú egyenlőtlenségek előjelvizsgálatára és arra, hogy adott gyökökből felírd az egyenletet. Az utóbbi a Viète-formulák hátterében is ott van.