Másodfokú egyenlet
A másodfokú egyenlet megoldóképlete
A megoldóképlet nem varázslat: teljes négyzetté alakításból jön ki, és pontosan azt csinálja, amit te is tennél kézzel. Itt levezetjük, majd megnézzük, hol szokott elcsúszni a behelyettesítés.
Röviden a válasz
A megoldóképlet: x1,2 = -b ± √b2 − 4 · a · c2 · a, ahol az együtthatók az a · x2 + b · x + c = 0 rendezett alakból származnak, és a ≠ 0.
A képlet a bal oldal teljes négyzetté alakításából következik. A gyök alatti b2 − 4ac a diszkrimináns: ha negatív, a képlet nem folytatható, mert negatív számból nem lehet valós gyököt vonni.
Megoldóképlet-kalkulátor
Írd be az együtthatókat – a kalkulátor a képlet minden behelyettesítési lépését kiírja.
Az ax² + bx + c = 0 alakú egyenlet együtthatói. Az a nem lehet nulla.
- Diszkrimináns D
- –
- x1 gyök
- –
- x2 gyök
- –
- Csúcspont x
- –
- Csúcspont y
- –
- Gyökök összege
- –
- Gyökök szorzata
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet és a jelölések
A képlet minden része az a · x2 + b · x + c = 0 alakból jön. Az a az x2, a b az x együtthatója, a c a konstans tag – előjelesen. A teljes témakör áttekintése a másodfokú egyenlet oldalon van.
| Egyenlet | a | b | c |
|---|---|---|---|
| 2x2 + 7x + 3 = 0 | 2 | 7 | 3 |
| x2 − 10x + 21 = 0 | 1 | −10 | 21 |
| -x2 + 6x − 5 = 0 | −1 | 6 | −5 |
| x2 − 4x − 1 = 0 | 1 | −4 | −1 |
Honnan jön a képlet? A levezetés
A gondolat egyszerű: alakítsuk a bal oldalt teljes négyzetté, mert abból már gyökvonással kifejezhető az x. Ez a levezetés érettségin is kérhető.
Teljes négyzetté alakítás lépésről lépésre
- Osztás a-valMivel a ≠ 0, oszthatunk vele: x2 + ba · x + ca = 0.
- A konstans átviteleA jobb oldalra vissza: x2 + ba · x = -ca.
- Kiegészítés teljes négyzettéA bal oldalhoz hozzáadjuk (b2a)2-et – ugyanezt a jobb oldalhoz is: (x + b2a)2 = b24a2 − ca.
- Közös nevező jobbraA jobb oldal egy törtté olvad: (x + b2a)2 = b2 − 4 · a · c4a2.
- GyökvonásNégyzetgyököt vonva mindkét oldalból két eset adódik: x + b2a = ± √b2 − 4 · a · c2a.
- KifejezésA b2a átvitelével megkapjuk a képletet: x1,2 = -b ± √b2 − 4 · a · c2 · a.
Behelyettesítés lépésről lépésre
Kidolgozott példa · 2x² + 7x + 3 = 0
Alkalmazzuk a képletet úgy, ahogy a dolgozatba is le kell írni.
- Együtthatók:a = 2, b = 7, c = 3
- A gyök alatti rész (diszkrimináns):D = 72 − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25
- Behelyettesítés a képletbe:x1,2 = -7 ± √252 · 2 = -7 ± 54
- A pluszos ág:x1 = -7 + 54 = -24 = -0,5
- A mínuszos ág:x2 = -7 − 54 = -124 = -3
- Ellenőrzés az első gyökkel:2 · (-0,5)2 + 7 · (-0,5) + 3 = 0,5 − 3,5 + 3 = 0
Eredményx1 = -0,5 és x2 = -3
Ha az a együttható negatív
A képlet negatív a-val is működik, de sokkal kényelmesebb előbb beszorozni (-1)-gyel az egész egyenletet. A gyökök ettől nem változnak, hiszen a nulla (-1)-szerese is nulla.
Kidolgozott példa · −x² + 6x − 5 = 0
Előkészítés után oldjuk meg a megoldóképlettel.
- Szorozzuk meg az egyenletet (-1)-gyel:x2 − 6x + 5 = 0
- Diszkrimináns:D = (-6)2 − 4 · 1 · 5 = 36 − 20 = 16
- Behelyettesítés:x1,2 = 6 ± 42
- A két gyök:x1 = 5, x2 = 1
Eredményx1 = 5 és x2 = 1
A rövidebb, redukált alak
Ha a b páros, egy egyszerűbb változat is használható. Írjuk b = 2k alakban, ekkor a képlet ennyivel rövidül:
Kidolgozott példa · x² − 10x + 21 = 0 redukált alakkal
Itt a = 1 és b = -10, tehát k = -5.
- A gyök alatti rész a rövid alakban:k2 − c = (-5)2 − 21 = 25 − 21 = 4
- Behelyettesítés:x1,2 = 5 ± √4 = 5 ± 2
- A két gyök:x1 = 7, x2 = 3
- Ellenőrzés a teljes képlettel is:D = 100 − 84 = 16, x1,2 = 10 ± 42
Eredményx1 = 7 és x2 = 3
Hogyan jegyezd meg?
A képletet érdemes kimondva megtanulni, mert így a sorrend is rögzül: „mínusz bé, plusz-mínusz gyök alatt bé négyzet mínusz négy á cé, per két á”. A leggyakoribb memóriahiba, hogy a 2a nevező csak a gyökre vonatkozik – pedig a teljes számlálót osztjuk vele, ezért kell a törtvonal a -b alá is.
Ha nem szép szám jön ki
A diszkrimináns ritkán négyzetszám. Ilyenkor a pontos válasz a gyökös alak, és csak utána következik a közelítő tizedes tört.
Kidolgozott példa · x² − 4x − 1 = 0
Add meg a gyököket pontos és közelítő alakban is!
- Diszkrimináns:D = (-4)2 − 4 · 1 · (-1) = 16 + 4 = 20
- Behelyettesítés:x1,2 = 4 ± √202
- A gyök egyszerűsíthető, mert √20 = 2 · √5:x1,2 = 4 ± 2 · √52 = 2 ± √5
- Közelítő érték √5 = 2,2361 mellett:x1 = 4,24, x2 = -0,24
EredményPontosan x1,2 = 2 ± √5, kerekítve 4,24 és −0,24.
Gyors önellenőrzés
Mit írsz a képletbe, ha az egyenlet 3x2 = 12x?
Miért nem szabad a nevezőt 2-re írni, ha a = 3?
Használható a redukált képlet a 2x2 + 5x − 3 = 0 egyenletre?
Gyakori kérdések
Mi a másodfokú egyenlet megoldóképlete?
x1,2 = -b ± √b2 − 4 · a · c2 · a, ahol az a, b és c az a · x2 + b · x + c = 0 rendezett alak együtthatói, előjelesen.
Hogyan vezethető le a megoldóképlet?
Oszd el az egyenletet a-val, vidd át a konstans tagot, majd egészítsd ki a bal oldalt teljes négyzetté (b2a)2 hozzáadásával. Gyökvonás után a ± jel megjelenésével adódik a képlet.
Mit jelent a képletben a ± jel?
Azt, hogy a képletet kétszer kell elvégezni: egyszer összeadással, egyszer kivonással. Ez adja a két gyököt. Ha a diszkrimináns 0, a két ág ugyanazt az értéket adja, ezért van csak egy megoldás.
Van rövidebb megoldóképlet is?
Igen, páros b esetén. Ha b = 2k, akkor x1,2 = -k ± √k2 − a · ca, a = 1 mellett pedig egyszerűen x1,2 = -k ± √k2 − c.
Miért nem működik a képlet, ha a = 0?
Mert a nevezőben 2a áll, nullával pedig nem lehet osztani. Ha a = 0, az egyenlet nem is másodfokú, hanem elsőfokú, és egyszerű rendezéssel megoldható.
A gyökös vagy a kerekített alakot adjam meg válaszként?
Ha a feladat nem kér mást, a pontos, gyökös alak a helyes válasz (például 2 ± √5), és mellé érdemes odaírni a két tizedesjegyre kerekített közelítést is.